Частный случай нахождения корней квадратного уравнения

1. Частный случай нахождения корней квадратного уравнения

Теория

Корни квадратного уравнения

a x^{2} + bx + c = 0

вычисляются по формулам

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

{D = b}^{2} - 4 ac

, если дискриминант

D \geq 0

Если \(D < 0\), то решений уравнение не имеет.

Однако математики всегда стараются упростить свои вычисления.

Ими было замечено, что если коэффициент \(b\) является чётным. то дробь

\frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

сокращается на \(2\).

Действительно, если в уравнении

a x^{2} + bx + c = 0

второй коэффициент чётный, то в формуле корней

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

заменим его на \(2k\) и выполним преобразования:

\begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{- 2 k \pm \sqrt{{(2 k)}^{2} - 4 ac}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm \sqrt{4 k^{2} - 4 ac}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm \sqrt{4 (k^{2} - ac)}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm 2 \sqrt{k^{2} - ac}}{2 a} = \\ = \frac{2 (- k \pm \sqrt{k^{2} - ac})}{2 a} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a} . \end{array}

Корни квадратного уравнения

a x^{2} + 2kx + c = 0

удобнее находить по формуле

x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

Для приведённого квадратного уравнения, когда \(a = 1\), формула

x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

имеет наиболее лаконичный вид.

Тогда получаем

x_{1,2} = - k \pm \sqrt{k^{2} - c}

Это формула корней уравнения

x^{2} + 2 kx + c = 0

Таким образом, если второй коэффициент квадратного уравнения чётный, то есть

x^{2} + 2 kx + c = 0

, то корни можно найти по формуле

x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

(или

x_{1,2} = - k \pm \sqrt{k^{2} - c}

— при \(a = 1\)), а также по общей формуле

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}