Степень с отрицательным показателем

Понятие степени с отрицательным целым показателем

1. Степень с отрицательным показателем

Теория

Если $n$ — натуральное число и

a \neq 0

, то запись

a^{- n}

означает:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Пример:

\begin{array}{l} 4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}; \\ 9^{- 1} = \frac{1}{9^{1}} = \frac{1}{9} . \end{array}

Полезно знать тождества:

${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$ , в частности ${(\frac{1}{a})}^{- n} = a^{n}, a \neq 0$ .

Пример:

$\begin{array}{l} 1 . {(\frac{2}{3})}^{- 2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}; \\ 2 . 3^{- 2} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}; \\ 3 . {(\frac{1}{5})}^{- 3} = 5^{3} = 125 . \end{array}$

Свойства степеней с натуральными показателями верны и для отрицательных целых показателей.

Свойства степеней с целым показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели нужно сложить: $a^{s} \cdot a^{t} = a^{s + t}$ .

Пример:

$a^{- 3} \cdot a^{- 5} = a^{- 3 + (- 5)} = a^{- 8}$ .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели нужно вычесть $a^{s} : a^{t} = a^{s - t}$ .

Пример:

$a^{- 3} {: a}^{- 7} = a^{- 3 - (- 7)} = a^{- 3 + 7} = a^{4}$ .

3. При возведении степени в степень показатели нужно перемножить: ${(a^{s})}^{t} = a^{s \cdot t}$ .

Пример:

${(a^{- 3})}^{- 5} = a^{- 3 \cdot (- 5)} = a^{15}$ .

Вернуться в тему

Следующее задание