Степенная функция с отрицательным целым показателем

1. Степенная функция с отрицательным целым показателем

Теория

Функции вида

y = x^{- n}, n

— натуральное число, называется степенной функцией с отрицательным целым показателем.

По определению степени с отрицательным показателем

x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}

Поэтому вместо записи

y = x^{- n}

можно использовать запись

y = \frac{1}{x^{n}}

Функция

f (x) = \frac{1}{x^{2}}, x > 0

Свойства функции

f (x) = \frac{1}{x^{2}}, x > 0

D (f) = (0; + \infty)

;

2. функция убывающая;

3. функция ограниченная снизу;

4. у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Функция

f (x) = x^{- 2}

Свойства функции

f (x) = x^{- 2}

D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)

;

2. чётная функция;

3. убывает на открытом луче

(0; + \infty)

, возрастает на открытом луче

(- \infty; 0)

;

4. ограниченная снизу;

5. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. непрерывна при \(x<0\) (т. е. открытом луче

(- \infty; 0)

) и при \(x>0\) (т. е. открытом луче

(0; + \infty)

);

E (f) = (0; + \infty)

;

8. выпукла вниз и при \(x<0\), и при \(x>0\).

Функция

y = x^{- 2 n}

Отметим, что кривая

y = \frac{1}{x^{2 n}}

асимптотически приближается к осям координат. Поэтому ось \(x\) — горизонтальная асимптота графика функции

y = \frac{1}{x^{2 n}}

, ось \(y\) — вертикальная асимптота этого графика.

Функция

y = x^{- (2 n + 1)}

Отметим, что ось \(x\) является горизонтальной асимптотой графика функции

y = \frac{1}{x^{2 n + 1}}

, а ось \(y\) является вертикальной асимптотой этого графика.

Свойства функции

y = x^{- (2 n + 1)}

D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)

;

2. нечётная функция;

3. убывает на промежутке

(0; + \infty)

и на промежутке

(- \infty; 0)

;

4. снизу и сверху не ограничена;

5. наибольшего и наименьшего значений нет;

6. непрерывна при \(x<0\) и при \(x>0\);

E (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)

;

8. выпукла вверх при \(x<0\), выпукла вниз при \(x>0\).

Источники: