Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии

1. Геометрическая прогрессия

Теория

Последовательность (

b_{n}

), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число \(q\), называется геометрической прогрессией.

Если последовательность (

b_{n}

) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения \(n\) справедлива зависимость:

b_{n + 1} = b_{n} \cdot q

Число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии.

Если в геометрической прогрессии (

b_{n}

) известен первый член

b_{1}

и знаменатель \(q\), то возможно найти любой член прогрессии.

b_{2} = b_{1} \cdot q

;

b_{3} = b_{2} \cdot q = b_{1} \cdot q \cdot q = b_{1} \cdot q^{2}

;

b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}

и т. д.

Общий член геометрической прогрессии

b_{n}

можно вычислить, используя формулу:

b_{n}

\(=\)

b_{1} \cdot q^{n - 1}

, где

\(n\) — порядковый номер члена прогрессии,

b_{1}

— первый член последовательности,

\(q\) — знаменатель.

Пример:

вычислить первые пять членов геометрической прогрессии и написать формулу нахождения \(n\)-го члена, если

b_{1}

\(=\) 8 и \(q = 0,5\).

b_{1}

\(=\) 8;

b_{2} = b_{1} \cdot q

\(=\)

8 \cdot 0,5

\(=\) 4;

b_{3} = b_{2} \cdot q

\(=\)

4 \cdot 0,5

\(=\) 2;

b_{4} = b_{3} \cdot q

\(=\)

2 \cdot 0,5

\(=\) 1;

b_{5} = b_{4} \cdot q

\(=\)

1 \cdot 0,5

\(=\) 0,5;

b_{n}

\(=\)

b_{1} \cdot q^{n - 1}

;

b_{n}

\(=\)

8 \cdot {0,5}^{n - 1}

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии

Сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии

S_{n}

можно найти, если вычислить её члены

b_{1}

b_{2}

\(...\)

b_{n}

и затем их значения сложить.

\(1\)-я формула:

S_{n}

= \frac{b_{n} q - b_{1}}{q - 1}

b_{1}

— первый член геометрической прогрессии,

b_{n}

— \(n\)-ый член геометрической прогрессии,

\(q\) — знаменатель,

\(n\) — количество членов последовательности (порядковый номер).

\(2\)-я формула:

S_{n}

= \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

Пример:

найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если

b_{1}

\(= 8\) и \(q= 0,5\).

\(I\) вариант

Рассмотрев первый пример, видим:

b_{1}

\(= 8\),

b_{2}

\(=\) 4,

b_{3}

\(=\) 2,

b_{4}

\(=\) 1 и

b_{5}

\(=\) 0,5.

Сложив пять этих чисел, получим сумму (первых пяти членов последовательности):

S_{n}

\(=\)

S_{5}

\(=\)

b_{1}

\(+\)

b_{2}

\(+\)

b_{3}

\(+\)

b_{4}

\(+\)

b_{5}

\(=\)

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5

\(=\) 15,5.

\(II\) вариант

Используется \(1\)-я формула:

S_{n}

= \frac{b_{n} q - b_{1}}{q - 1}

, где

\(n = 5\);

b_{1}

\(=8\);

\(q = 0,5\);

b_{n}

\(=\)

b_{5}

\(= 0,5\) (т. к. \(n = 5\)).

S_{5}

\(=\)

\frac{(0,5 \cdot 0,5 - 8)}{(0,5 - 1)}

\(=\) 15,5.

\(III\) вариант

Используется \(2\)-я формула:

S_{n}

= \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

S_{5}

\(=\)

\frac{8 \cdot ({0,5}^{5} - 1)}{0,5 - 1}

\(=\) 15,5.

Как видите, все три варианта решения приводят к одному и тому же результату.

Сумма первых пяти членов прогрессии равна

S_{5}

\(=\) 15,5.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой \(|q| < 1\).

Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа.

S = \frac{b_{1}}{1 - q}, q \neq 1

Пример:

запиши периодическую дробь \(0,(8)\) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что \(0,(8)=0,8+0,08+0,008+…\) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен \(0,8\), знаменатель равен \(0,1\). Найдём сумму по формуле:

S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,8}{1 - 0,1}

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

\frac{0,8}{1 - 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь \(0,(8)\) обращается в обыкновенную дробь \(8/9\).

Ответ: \(0,(8)=8/9\).

Вернуться в тему

Следующее задание