Теория:
Комбинаторика — раздел математики о вычислении количества различных комбинаций каких-либо элементов.
Пример:
ответь на вопросы.
1. Сколько различных трёхзначных номеров телефона можно составить из пяти цифр? (Ответ: \(125\).)
2. Сколькими различными способами можно составить танцевальную пару, если в коллективе \(3\) мальчика и \(4\) девочки? (Ответ: \(12\).)
3. Сколькими различными способами можно образовать пару дежурных, если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра? (Ответ: \(6\).)
4. Сколькими различными способами можно выбрать двух учеников (одного — чистить доску, второго — подметать пол), если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра? (Ответ: \(12\).)
Один из способов решения задач комбинаторики — это рассмотреть все возможные комбинации элементов, что называется полным перебором вариантов.
Древовидная диаграмма
Древовидная диаграмма — один из способов показать и систематизировать все размещения. С помощью древовидной диаграммы осуществляется полный перебор.
Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр \(1\), \(2\) и \(3\), если каждую использовать только один раз?
Решение:
составляется древовидная диаграмма.
Ответ: можно составить \(6\) различных чисел.
Пример:
рассмотрим \(3\)-й пример (см. выше).
Сколькими различными способами можно образовать пару дежурных, если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?
На древовидной диаграмме видно, что можно образовать только \(6\) пар дежурных (Надя и Вика, Надя и Саша, Надя и Юра, Вика и Саша, Саша и Юра, Вика и Юра), т. к. каждая пара повторяется \(2\) раза.
Рассмотрим \(4\)-й пример:
сколькими различными способами можно выбрать двух учеников (одного — чистить доску, второго — подметать пол), если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?
Используется та же древовидная диаграмма, но в данном случае ответ будет — \(12\) пар, т. к. каждая пара из диаграммы отличается. Если детей поменять местами, они выполняют уже другие функции.
С помощью древовидной диаграммы были получены различные результаты, т. к. в \(3\) и \(4\) примере были рассмотрены различные виды комбинаций: сочетания и размещения.
Древовидные диаграммы можно изображать только для небольшого числа вариантов, а в общем случае для нахождения числа вариантов используют правило умножения:
количество всех исходов независимого проведения двух испытаний \(А\) и \(В\) равно произведению количества всех исходов испытания \(А\) и количества всех исходов испытания \(В\).
Таблица
В отдельных случаях для систематизации данных составляются таблицы комбинаций.
Простой игровой кубик бросается \(2\) раза, и полученные пункты перемножаются. Сколько различных произведений можно получить?
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | |
| \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(2\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) | \(12\) |
| \(3\) | \(3\) | \(6\) | \(9\) | \(12\) | \(15\) | \(18\) |
| \(4\) | \(4\) | \(8\) | \(12\) | \(16\) | \(20\) | \(24\) |
| \(5\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(20\) | \(25\) | \(30\) |
| \(6\) | \(6\) | \(12\) | \(18\) | \(24\) | \(30\) | \(36\) |
Различные произведения — это \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(8\); \(9\); \(10\); \(12\); \(15\); \(16\); \(18\); \(20\); \(24\); \(25\); \(30\); \(36\) — всего \(18\) различных результатов.