Факториал — урок. Алгебра, 9 класс.

Элементы комбинаторики. Комбинаторные задачи

2. Факториал

Теория

Часто нужно с использованием закона умножения вычислить произведения натуральных чисел по порядку, начиная с \(1\).

Например,

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7

и т. д. Не всегда важно вычислить числовое произведение. Чтобы можно было короче записать выражения такого вида, в математике используется знак «\(!\)».

Произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\) включительно называется факториалом числа n и записывается

n!

(читается как «эн факториал»).

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n

Принято, что \(0! = 1\).

1! = 1

;

2! = 2 \cdot 1 = 2

;

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

;

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

;

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

;

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Пример:

\(1\) задание.
Вычисли значение выражения.

5! + 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 + 24 = 144

\frac{7! - 5!}{4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! - 5 \cdot 4!}{4!} = \frac{5 \cdot 4! (42 - 1)}{4!} = 5 \cdot 41 = 205

(\(4!\) выносится за скобки. В дроби равные факториалы можно сокращать).

\frac{80!}{79!} + \frac{59!}{58!} = \frac{80 \cdot 79!}{79!} + \frac{59 \cdot 58!}{58!} = 80 + 59 = 139

Каждый больший факториал можно выразить меньшим факториалом, т. е.
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) и т. д.

Пример:

\(2\) задание.
Сократи дробь:

\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) n

\(3\) задание.
Упрости выражение:

\frac{n + 2}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n!} = \frac{n + 2^{\ n}}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} + 2 n - 2 n - 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} - 3}{n!}

При увеличении значения \(n\) значение \(n!\) стремительно возрастает. Знак факториала удобно использовать, если нужно записывать большие числа.

Пример:

сколькими различными способами можно составить список учеников, если в нём должно быть \(25\) различных учеников?

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 24 \cdot 25 = 25!

Ответ: список можно составить \(25!\) различными способами.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание