Классическое определение вероятности

Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности

1. Классическое определение вероятности

Теория

Когда неизвестно, произойдёт в ходе испытания данное событие или нет, то говорят, что это случайное событие.

Например, случайное событие — выпадение решки при бросании монеты.

Достоверное событие — событие, которое в ходе испытания обязательно наступит.

Невозможное событие — событие, которое в ходе испытания точно не произойдёт.

Если при проведении испытаний наступает исход, который влечёт за собой появление события $A$, то этот исход назовём благоприятствующим событию $A$.

Дадим классическое определение вероятности.

Вероятность события $A$ — отношение количества благоприятствующих событию $A$ исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.

P (A) = \frac{m}{n}

, где

$m$ — количество исходов испытания, в которых наступает событие $A$,

$n$ — количество всех равновозможных исходов.

Пример:

Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет $3$ очка?

Решение. Количество элементарных исходов $n=6$. Событие $A$ — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятствующих событию $A$ равно $m=1$. Получаем:

$P (A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$ .

Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:

испытание с N исходами — множество из N элементов;
отдельный исход испытания — элемент множества;
случайное событие — подмножество;
невозможное событие — пустое множество;
достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.

Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема

Если события $A$ и $B$ не совместны, то вероятность того, что наступит или $A$, или $B$, равна $P(A) + P(B)$.

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: $P(B) = 1-P(A)$.

Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности.

Пусть фигура $X$ является частью фигуры $Y$. Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры $Y$ точка будет принадлежать фигуре $X$, равна $P = \frac{S (X)}{S (Y)}$ , где $S(X)$ — площадь фигуры $X$, $S(Y)$ — площадь фигуры $Y$.

Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).

Пример:

в прямоугольник $5×4$ ${см}^{2}$ помещён круг радиуса $1,5$ см. В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?

Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. $P = \frac{S_{круга}}{S_{прямоугольника}} = \frac{π \cdot {1,5}^{2}}{5 \cdot 4} = 0,353$ .

13 (1).png

Рис. $1$. Прямоугольник и круг

Вернуться в тему

Следующее задание