Метод интервалов — урок. Алгебра, 9 класс.

3. Метод интервалов

Теория

Часто удобно при решении квадратных неравенств использовать метод интервалов.

Рассмотрим этапы метода интервалов:
- находят корни квадратного трёхчлена

a x^{2} + bx + c

и раскладывают на множители;
- отмечают на числовой прямой корни трёхчлена и находят знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале;
- выбирают интервал, соответствующий знаку неравенства, и записывают ответ.

Пример:

решить неравенство:

2 x^{2} - 7 x - 4 \leq 0

Решение. Найдём корни квадратного трёхчлена

2 x^{2} - 7 x - 4

и разложим его на множители по формуле

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0; \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81; \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0,5; \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4; \\ 2 x^{2} - 7 x - 4 = 2 (x + 0,5) (x - 4); \\ 2 (x + 0,5) (x - 4) = 0 |: 2 \\ (x + 0,5) (x - 4) = 0; \\ x_{1} = - 0,5, x_{2} = 4 . \end{array}

Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.

Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.

На интервале

(- \infty; - 0,5]

возьмём \(x=-2\), тогда

2 {\cdot (- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) - 4 = 2 \cdot 4 + 14 - 4 = 18 > 0

На интервале

[- 0,5; 4]

возьмём \(x=0\), тогда

2 {\cdot 0}^{2} - 7 \cdot 0 - 4 = 0 - 0 - 4 = - 4 < 0

На интервале

[4; + \infty)

возьмём \(x=5\), тогда

2 {\cdot 5}^{2} - 7 \cdot 5 - 4 = 2 \cdot 25 - 35 - 4 = 50 - 39 = 11 > 0

Квадратный трёхчлен принимает отрицательные и равные нулю значения на интервале

[- 0,5; 4]

Ответ:

- 0,5 \leq x \leq 4

Источники:

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание