Знаки неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

2. Знаки неравенств

Теория

Неравенства, произведение или частное которых сравнено с нулем — это, например,

(x + 3) (x - 2) > 0; \frac{x + 3}{x - 5} \leq 0

Один из методов решения таких неравенств — замена системой неравенств.

Чтобы заменить неравенство системами неравенств, нужно знать свойства знаков:

\begin{array}{l} (+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) \\ \frac{(+)}{(+)} = (+) \frac{(-)}{(-)} = (+) \frac{(+)}{(-)} = (-) \frac{(-)}{(+)} = (-) \end{array}

Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковые знаки — или положительные, или отрицательные.

Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь противоположные знаки.

\begin{array}{l} f (x) \cdot g (x) > 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ f (x) \cdot g (x) < 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \\ f (x) \cdot g (x) \geq 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) \geq 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) \leq 0 \end{cases} \\ f (x) \cdot g (x) \leq 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) \leq 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) \geq 0 \end{cases} \end{array}

Чтобы частное было положительным, делимое и делитель должны иметь одинаковые знаки.

Чтобы частное было отрицательным, делимое и делитель должны иметь противоположные знаки.

\begin{array}{l} \frac{f (x)}{g (x)} > 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} < 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} \geq 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} \leq 0 только в том случае, если \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} или \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \end{array}

Обрати внимание!

Обрати внимание — в дробном неравенстве знаменатель не может быть равен \(0\), поэтому используются только знаки строгого неравенства (\(<\) или \(>\)).

Пример:

\begin{array}{l} \frac{x + 2}{x - 3} \geq 0 \\ \{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x - 3 > 0, т . к . x - 3 \neq 0 \end{cases} или \{\begin{cases} x + 2 \leq 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x > 3 \end{cases} (1) или \{\begin{cases} x \leq - 2 \\ x < 3 \end{cases} (2) \end{array}

Множества решений системы неравенства отображаются на оси координат:

(1)
(2)

Ответ:

x \in (- \infty; - 2] \cup (3; + \infty)

Источники:

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория