Квадратные неравенства — урок. Алгебра, 9 класс.

1. Квадратные неравенства

Теория

Общий вид квадратных неравенств — это

a x^{2} + bx + c > 0 (< 0, \leq 0, \geq 0), где a \neq 0

Множество решений квадратного неравенства легко определить, приблизительно начертив график функции

y = a x^{2} + bx + c

(параболу).

Шаги решения квадратного неравенства.

1. Определяются точки пересечения параболы и оси $x$ с помощью решения уравнения

a x^{2} + bx + c = 0

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 ac; \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} . \end{array}$

Если $D > 0$, у уравнения — два разных корня, парабола пересекает ось $x$ в двух точках
Если $D = 0$, у уравнения — два одинаковых корня, вершина параболы находится на оси $x$
Если $D < 0$, у уравнения нет реальных корней, парабола не пересекает ось $x$

2. Учитывая количество корней и знак коэффициента $a$, чертится график параболы.

Обрати внимание!

Если $a > 0$, то ветви параболы устремлены вверх, если $a < 0$, то вниз.

Совет: если хочешь, чтобы ветви параболы всегда были уcтремлены вверх, в случаях, когда $a < 0$, сначала обе части неравенства перемножь на ($-1$).

Не забудь, что на противоположный поменяется также знак неравенства.

3. Выбираются пустые или закрашенные точки, в зависимости от вида знака неравенства:

•

, если стоит знак нестрогого неравенства —

\leq

или

\geq

;

о

, если стоит знак строгого неравенства — $<$ или $>$.

4. Закрашивается правильный интервал.

5. Записывается ответ.

Пример:

решить квадратное неравенство

- 2 x^{2} + 4 x - 5 \leq 0

Решение:

\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 4 x - 5 \leq 0 | \cdot (- 1) \\ 2 x^{2} - 4 x + 5 \geq 0; \\ D = 16 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = - 24; \\ парабола не пересекает ось Ox . \end{array}

По рисунку видно, что график положителен любому значению $x$.

Ответ:

x \in (- \infty; + \infty), или x \in R

Вернуться в тему

Следующая теория