2.
Свойство чередования знаков
Теория
Если функция с одной переменной записана в виде , то в точках она равна нулю.
Пусть в записи функции числа попарно различны. Тогда функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю.
Другими словами, нули функции разбивают числовую прямую на промежутки знакопостоянства.
Данное свойство применяется при решении неравенств.
Пример:
решить неравенство .
Найдём нули функции, стоящей в левой части неравенства.
Отметим на координатной прямой найденные значения и определим знаки функции на каждом промежутке. Для этого определим знак на одном промежутке и расставим знаки, чередуя, на остальных промежутках.
На интервале возьмём \(x=0\), тогда \(<0\).
На двух других промежутках функция принимает положительные значения.
Решить данное неравенство — это значит ответить на вопрос, при каких значениях функция принимает не положительные значения;
значит, решением неравенства является множество значений из промежутка .
Ответ: .
Обрати внимание!
Если нуль функции имеет нечётную кратность, то знак функции в этой точке меняется.
Если нуль функции имеет чётную кратность, то знак функции в этой точке не меняется.
;
в точке \(-1\) функция меняет знак;
в точке \(2\) функция не меняет знак.
Источники:
Изображение: решение неравенства. © ЯКласс.