Метод введения новых переменных — урок. Алгебра, 9 класс.

3. Метод введения новых переменных

Теория

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1) делаем замену только в одном уравнении системы, введя одну новую переменную;

2) делаем замену одновременно в двух уравнениях системы, введя две новые переменные.

Рассмотрим второй способ на примере.

Пример:

решить систему уравнений

\{\begin{cases} xy (x + y) = 6, \\ xy + (x + y) = 5 . \end{cases}

Решение

Введём новые переменные:

xy = u, x + y = v

Тогда систему можно переписать в более простом виде.

\{\begin{cases} uv = 6, \\ u + v = 5 . \end{cases}

Решением системы являются две пары чисел:

\{\begin{cases} u_{1} = 2, \\ v_{1} = 3; \end{cases}

\{\begin{cases} u_{2} = 3, \\ v_{2} = 2; \end{cases}

Вернёмся к переменным \(x\) и \(y\) и решим системы методом подстановки, тогда:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} xy = 2, \\ x + y = 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} xy = 2, \\ x = 3 - y; \end{cases} \\ 1 . (3 - y) y = 2; \\ - y^{2} + 3 y - 2 = 0 |\cdot (- 1) \\ y^{2} - 3 y + 2 = 0; \\ y_{1} = 2, y_{2} = 1 . \\ 2 . x = 3 - y; \\ x_{1} = 3 - 2 = 1; \\ x_{2} = 3 - 1 = 2 \end{array}

\begin{array}{l} \{\begin{cases} xy = 3, \\ x + y = 2; \end{cases} \\ \{\begin{cases} xy = 3, \\ x = 2 - y; \end{cases} \\ (2 - y) y = 3; \\ - y^{2} + 2 y - 3 = 0; \\ D < 0 \\ \emptyset \end{array}

Ответ: \((1;2)\) и \((2;1)\).