Теория:

История создания
Стихотворение написано в \(1841\) году. Это перевод с немецкого языка стихотворения Генриха Гейне.
  
Жанрлирическое стихотворение.
  
Содержание
В первых строках поэт пишет о сосне, которая растёт на севере. Эпитеты «на севере диком», «стоит одиноко», «на голой вершине» говорят о том, что сосне грустно, одиноко и страшно. 
На севере диком стоит одиноко
На голой вершине сосна
И дремлет, качаясь, и снегом сыпучим
Одета, как ризой, она.
Сосна дремлет (почти спит). Ей снится сон. Где-то очень далеко на востоке в жаркой пустыне растёт пальма, которая, как и сосна, одинока и грустна.
И снится ей всё, что в пустыне далёкой,
В том крае, где солнца восход,
Одна и грустна на утёсе горючем
Прекрасная пальма растёт.
Композиция
В стихотворении \(2\) строфы. Каждая строфа состоит из \(4\) строк (стихов) — четверостишие.
 
Поэт использует два вида рифмы  перекрёстную и кольцевую.
1. Перекрёстная рифма. Рифмуются слова \(2\)-й и \(4\)-й строк в каждой строфе.
Примеры перекрёстной рифмы: «сосна» — «она», «восход» — «растёт».
Слова «восход» и «растёт» заканчиваются одинаковыми звуками [от].
1. На севере диком стоит одиноко
2. На голой вершине сосна
3. И дремлет, качаясь, и снегом сыпучим
4. Одета, как ризой, она.

1. И снится ей всё, что в пустыне далёкой,
2. В том крае, где солнца восход,
3. Одна и грустна на утёсе горючем
4. Прекрасная пальма растёт.
2. Кольцевая рифма. Рифмуются слова в \(1\)-х и \(3\)-х строках двух строф.
Примеры кольцевой рифмы: «одиноко» — «далёкой», «сыпучим» — «горючем».
Слова «сыпучим» и «горючем» заканчиваются одинаковыми звуками [им].
1. На севере диком стоит одиноко
2. На голой вершине сосна
3. И дремлет, качаясь, и снегом сыпучим
4. Одета, как ризой, она.

1. И снится ей всё, что в пустыне далёкой,
2. В том крае, где солнца восход,
3. Одна и грустна на утёсе горючем
4. Прекрасная пальма растёт.
Тема
В стихотворении поэт размышляет на тему одиночества. Сосна одинока на севере, пальма растёт одна на юге. Они не могут встретиться, потому что растут далеко друг от друга. Им плохо от одиночества.
 
Средства художественной выразительности
М. Ю. Лермонтов в стихотворении «На севере диком...» использует эпитетыолицетворения и сравнение. С примерами средств художественной выразительности можешь познакомиться, кликнув эту ссылку.