Теория:
Общий подход к решению задания — последовательный перебор ходов обоих игроков. Такой подход позволяет выяснить выигрышные позиции и разработать выигрышную стратегию.
Рассмотрим на примерах.
Два игрока — Первый и Второй — играют в следующую игру. Перед ними находится одна куча камней, в которую каждый из игроков в свой ход может добавить один камень или увеличить количество камней вдвое. Выигравшим считается тот игрок, после хода которого в куче станет не менее \(46\) камней.
В начальный момент в куче \(S\) камней, при этом известно, что \(1<=S<46\).
1. Укажи все такие значения начального количества камней в куче, при котором выиграет Первый игрок. Причём у него есть только один выигрывающий ход.
2. Укажи все такие значения начального количества камней в куче, при котором Первый игрок не может выиграть своим первым ходом, но Второй выигрывает своим первым ходом при любом ходе Первого игрока.
Решение вручную
Рассмотрим таблицу ходов для решения задания.
Рис. \(1\). Ход первого игрока
Из рассмотрения таблицы определим, что при \(S\), находящемся в интервале значений от \(23\) до \(45\), Первый игрок может выиграть, сделав сильный ход.
Для решения задания под цифрой \(2\) дополним таблицу ходами Второго игрока.
Для решения задания под цифрой \(2\) дополним таблицу ходами Второго игрока.
Рис. \(2\). Ход второго игрока
При рассмотрении таблицы определим, что при \(S\) \(= 44\) и \(S\) \(= 23\) может выиграть и Первый игрок, сделав сильный ход, при \(S\) \(= 12\) Первый может сделать слабый ход, лишив таким образом Второго победы на его первом ходу. Проследи эту цепочку ходов: \(12\) П \(:12+1=13\); В \(:13*2=26\) — нет победы.
Остаётся только \(S\) \(= 22\).
Рис. \(3\). Проверка
Решение в электронных таблицах
В электронных таблицах реализуется та же идея перебора, только вычисления осуществляются по введённым формулам.
Рассмотрим решение задания «укажи все такие значения начального количества камней в куче, при которых Первый игрок не может выиграть своим первым ходом, но Второй выигрывает своим первым ходом при любом ходе Первого игрока» поэтапно.
1) Сформируем таблицу с помощью инструмента объединения ячеек.
Рис. \(4\). Первый этап построения таблицы вычислений
2) Введём формулы для вычисления ходов. В ячейку \(B1\) внесём искомое значение \(S\) и будем изменять его вручную.
Рис. \(5\). Формулы
3) Определим условное форматирование для ячеек с результатом
Рис. \(6\). Применение условного форматирования
и установим параметры форматирования.
Рис. \(7\). Условное форматирование
4) Аналогично установим условное форматирование для ходов Первого в столбце \(D\) для того, чтобы не пропустить значение \(S\), при котором у Первого есть выигрыш на его первом ходу. 5) Значение ячейки \(B\)\(1\) будем изменять, добиваясь того, что у Второго в столбце \(E\) будет хотя бы по одной окрашенной ячейке на каждый из ходов Первого, указанных в столбце \(D\).
Для \(S\) \(=12\)
Рис. \(9\). Результат вычислений \(1\)
из таблицы видно, что Второй выигрывает не при всех ходах Первого.
Для \(S\) \(=24\)
Рис. \(10\). Результат вычислений \(2\)
из таблицы видно, что Первый выигрывает на своём первом ходу, лишая Второго победы.
Для \(S\) \(=22\)
Рис. \(11\). Результаты вычислений \(3\)
из таблицы видно, что для каждого хода Первого у Второго есть выигрышный ход.
Рассмотрим подобное задание, при котором у игроков есть две кучи камней.
Два игрока, Первый и Второй, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Первый. За один ход игрок может
а) добавить в любую кучу один камень;
б) увеличить количество камней в любой куче в два раза.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(88\). Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет \(77\) камней или больше. В начальный момент в первой куче было \(7\) камней, а во второй — \(S\) камней, \(1 ≤\) \(S\) \(≤ 69\).
1) При каких значениях числа \(S\) Первый может выиграть в один ход? Укажи все такие значения и соответствующие ходы Первого.
2) Известно, что Второй выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Первого. Укажи минимальное значение \(S\), когда такая ситуация возможна.
а) добавить в любую кучу один камень;
б) увеличить количество камней в любой куче в два раза.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(88\). Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет \(77\) камней или больше. В начальный момент в первой куче было \(7\) камней, а во второй — \(S\) камней, \(1 ≤\) \(S\) \(≤ 69\).
1) При каких значениях числа \(S\) Первый может выиграть в один ход? Укажи все такие значения и соответствующие ходы Первого.
2) Известно, что Второй выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Первого. Укажи минимальное значение \(S\), когда такая ситуация возможна.
Решение вручную
Рассмотрим таблицу ходов для решения задания под цифрой \(1\).
Рис. \(12\). Таблица ходов для решения
При рассмотрении таблицы определим, что при \(S\), находящемся в интервале значений от \(35\) до \(69\), Первый игрок может выиграть, сделав сильный ход.
Для решения задания под цифрой \(2\) дополним таблицу только сильными ходами Второго игрока. Сильным ходом будет увеличение большей кучи в \(2\) раза. Очевидно, что большей будет куча с неизвестным количеством камней \(S\).
Рис. \(13\). Формулы
При рассмотрении таблицы определим, что при \(S\) \(=18\) Второй игрок может победить, но для этого Первый игрок должен был сделать ошибочный, невыгодный для себя ход.
Решение в электронных таблицах
В электронных таблицах реализуется та же идея перебора, только вычисления осуществляются по введённым формулам.
Задание \(1\) и \(2\) в режиме отображения формул
Рис. \(14\). Отображение формул
и с решением задания \(2\).
Рис. \(15\). Результаты вычислений \(4\)
Источники:
Рис. 1. Ход первого игрока. © ЯКласс.
Рис. 2. Ход второго игрока. © ЯКласс.
Рис. 3. Проверка. © ЯКласс.
Рис. 4. Первый этап построения таблицы вычислений. © ЯКласс.
Рис. 5. Формулы. © ЯКласс.
Рис. 6. Применение условного форматирования. © ЯКласс.
Рис. 7. Условное форматирование. © ЯКласс.
Рис. 8. Создание правил форматирования. © ЯКласс.
Рис. 9. Результат вычислений 1. © ЯКласс.
Рис. 10. Результат вычислений 2. © ЯКласс.
Рис. 11. Результаты вычислений 3. © ЯКласс.
Рис. 12. Таблица ходов для решения. © ЯКласс.
Рис. 13. Формулы. © ЯКласс.
Рис. 14. Отображение формул. © ЯКласс.
Рис. 15. Результаты вычислений 4. © ЯКласс.
Рис. 2. Ход второго игрока. © ЯКласс.
Рис. 3. Проверка. © ЯКласс.
Рис. 4. Первый этап построения таблицы вычислений. © ЯКласс.
Рис. 5. Формулы. © ЯКласс.
Рис. 6. Применение условного форматирования. © ЯКласс.
Рис. 7. Условное форматирование. © ЯКласс.
Рис. 8. Создание правил форматирования. © ЯКласс.
Рис. 9. Результат вычислений 1. © ЯКласс.
Рис. 10. Результат вычислений 2. © ЯКласс.
Рис. 11. Результаты вычислений 3. © ЯКласс.
Рис. 12. Таблица ходов для решения. © ЯКласс.
Рис. 13. Формулы. © ЯКласс.
Рис. 14. Отображение формул. © ЯКласс.
Рис. 15. Результаты вычислений 4. © ЯКласс.