Теория:
Рассмотрим на примере, как по графику функции определяются промежутки её возрастания (убывания) и промежутки знакопостоянства.
График пересекает ось \(Ox\) в точках с абсциссами \(0\) и \(4\) (рис. \(1\)). Область определения функции разбивается указанными точками на три промежутка знакопостоянства: на интервале значения функции положительны (точки функции, принадлежащие интервалу, расположены выше оси \(Ox\)) и на промежутках и значения функции отрицательны (точки функции, принадлежащие интервалу, расположены ниже оси \(Ox\)) .
Рис. \(1\). График функции
Вершина параболы расположена в точке \((2;4)\). На промежутке функция возрастает и на промежутке функция убывает.
Функция возрастает на некотором промежутке, если для любых и из этого промежутка выполняется условие: если \(<\) , то .
Функция убывает на некотором промежутке, если для любых двух точек и из этого промежутка выполняется условие: если \(<\) , то .
Значение производной функции в точке
Производная функции в точке с абсциссой \(a\) равна угловому коэффициенту касательной \(k\) к графику функции в этой точке: , где — угол наклона касательной к оси \(x\) (рис. \(2\)).
Рис. \(2\). Касательная к графику функции в точке
Если касательная — возрастающая функция, то — острый угол, \(>0\), \(k>0\) и производная в точке \(a\) положительная.
Если касательная — убывающая функция, то — тупой угол, \(<0\), \(k<0\) и производная в точке \(a\) отрицательная.
Производная положительна на интервалах возрастания функции; производная отрицательна на интервалах убывания функции.
В точке максимума или минимума функции касательная параллельна оси \(Ox\), то есть угол наклона касательной к оси \(Ox\) равен нулю. Поэтому производная в точке максимума или минимума равна нулю.
Источники:
Рис. 1. График функции. © ЯКласс.
Рис. 2. Касательная к графику функции в точке. © ЯКласс.