Нахождение вероятности события — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Например, победа в соревновании, поломка телевизора, рождение мальчика или девочки, размеры детали — случайные события.

Если при проведении некоторого испытания число исходов, в результате которых наступает событие \(A\), равно \(m\), а число всех равновозможных исходов равно \(n\), вероятность \(P\) события \(A\) равна отношению \(m\) к \(n\):

P (A) = \frac{m}{n}

Пример:

художник продаёт \(12\) картин с цветами и \(8\) — с изображениями животных. Василий покупает одну картину этого художника. Какова вероятность, что Василий купит картину с цветами?

Решение.
Событие \(A\) — «Василий купил картину с цветами».
Число случаев, в результате которых наступает событие \(A\), равно \(m=12\).

Всего картин \(12+8=20\), поэтому \(n=20\).
Следовательно,

P (A) = \frac{12}{20} = 0,6 .

Ответ:

Ответ: \(0,6\).

Обрати внимание!

1. Вероятность события, которое не может произойти, равна \(0\).
2. Вероятность события, которое обязательно произойдёт, равна \(1\).
3. Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы.

Сложение и умножение вероятностей

Если события \(A\) и \(B\) не могут произойти одновременно, то для нахождения вероятности наступления либо события \(A\), либо события \(B\) нужно сложить вероятности наступления событий \(A\) и \(B\):

P (A или B) = P (A) + P (B)

Пример:

на фабрике изготавливают карандаши со стандартной длиной \(175\) мм. Вероятность того, что длина карандаша будет отличаться от стандартной на \(0,1\) мм, равна \(0,37\). Вероятность того, что длина карандаша будет отличаться от стандартной на величину от \(0,1\) мм до \(0,2\) мм, равна \(0,31\). Какова вероятность того, что длина карандаша будет отличаться от стандартной длины на \(0,2\) мм?

Решение.
Событие \(A\) — «длина карандаша будет отличаться от стандартной на \(0,1\) мм».
Событие \(B\) — «длина карандаша будет отличаться от стандартной на величину от \(0,1\) мм до \(0,2\) мм».
Событие \(C\) — «длина карандаша будет отличаться от стандартной на \(0,2\) мм».
Заметим, что событие \(C\) наступит, только если наступит событие \(A\) или событие \(B\).

P (A) = 0, 37

P (B) = 0,31 .

Так как события \(A\) и \(B\) не могут произойти одновременно, то

P (C) = P (A) + P (B)

.
\(0,37+0,31=0,68\).

Ответ: \(0,68\).

Обрати внимание!

1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P (A) + P (\bar{A}) = 1

2. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события:

P (\bar{A}) = 1 - P (A)

Если события \(A\) и \(B\) не зависят друг от друга, то для нахождения вероятности одновременного наступления события \(A\) и события \(B\) нужно перемножить вероятности наступления событий \(A\) и \(B\):

P (A и B) = P (A) \cdot P (B)

Пример:

Витя и Дима каждый наудачу бросает симметричную монету. Найди вероятность того, что у Вити выпадет решка, а у Димы — орёл.

Решение.
Результат броска монеты Вити не зависит от результата броска монеты Димы, и наоборот.

У Вити решка может выпасть с вероятностью

\frac{1}{2}

, у Димы орёл может выпасть тоже с вероятностью

\frac{1}{2}

. Вероятность того, что у Вити выпадет решка, а у Димы — орёл, равна

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Ответ:

\frac{1}{4}

Вернуться в тему

Следующее задание

1. Нахождение вероятности события

Теория: