Правила тождественных преобразований уравнений — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

1. Правила тождественных преобразований уравнений

Теория

Для того чтобы правильно выражать переменную из равенства, тебе нужно знать правила решения уравнений.

Вспомним основные правила тождественных преобразований уравнений.

Если член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получится равносильное данному уравнение.

Пример:

дана формула для вычисления периметра треугольника

P = a + b + c

, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника. Вырази из этой формулы сторону \(a\).

Решение.

Так как \(a\) находится в правой части равенства, то поменяем местами левую и правую его части:

a + b + c = P

В левой части равенства оставим \(a\), остальные слагаемые перенесём в правую часть с противоположным знаком:

a = P - b - c

При умножении или делении левой и правой частей уравнения на одинаковое, не равное нулю число, получается уравнение, равносильное исходному.

Пример:

радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

r = \frac{a + b - c}{2}

, где \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза. Вырази из этой формулы гипотенузу \(c\).

Решение.

Последнее действие в правой части — деление на \(2\). Противоположное действие — умножение. Умножим левую и правую части равенства на \(2\) и сократим дробь на \(2\):

2 \cdot r = \frac{2 \cdot (a + b - c)}{2}

;

2 r = a + b - c

Переменная \(c\) стоит в правой части равенства со знаком минус. Перенесём её в левую часть и поменяем знак на противоположный. А \(2r\), наоборот, перенесём в правую часть и тоже поменяем знак на противоположный:

c = a + b - 2 r

1) Если левую и правую части уравнения возвести в одинаковую нечётную степень, то получится равносильное данному уравнение.
2) Если неотрицательные левую и правую части уравнения возвести в одинаковую чётную степень, то получится равносильное данному уравнение.

Пример:

среднее геометрическое трёх чисел \(a\), \(b\) и \(c\) вычисляется по формуле

g = \sqrt{abc}

. Вырази из этой формулы число \(a\).

Решение.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

g^{2} = {(\sqrt{abc})}^{2}

;

g^{2} = abc

Поменяем местами левую и правую части равенства и разделим их на \(bc\):

abc = g^{2}

;

\frac{abc}{bc} = \frac{g^{2}}{bc}

;

\frac{a bc}{bc} = \frac{g^{2}}{bc}

;

a = \frac{g^{2}}{bc}

1) Если из левой и правой частей уравнения извлечь корень одинаковой нечётной степени, то получится равносильное данному уравнение.

2) Если из неотрицательных левой и правой частей уравнения извлечь корень одинаковой чётной степени, то получится равносильное данному уравнение.

Пример:

площадь прямоугольника можно вычислить по формуле

S = \frac{d^{2} \sin α}{2}

, где \(d\) — длина диагонали,

α

— угол между диагоналями. Вырази из этой формулы \(d\), если

\sin α

\(>0\).

Решение.

Так как \(d\) находится в правой части равенства, то поменяем местами левую и правую его части:

\frac{d^{2} \sin α}{2} = S

Последнее действие в левой части — деление на \(2\). Противоположное действие — умножение. Умножим левую и правую части равенства на \(2\) и сократим дробь.

\frac{{2 \cdot d}^{2} \sin α}{2} = 2 \cdot S

;

d^{2} \sin α = 2 S

Последнее действие в левой части — умножение на

\sin α

. Противоположное действие — деление. Разделим левую и правую части равенства на

\sin α

и сократим дробь в левой части равенства:

\frac{d^{2} \sin α}{\sin α} = \frac{2 S}{\sin α}

;

d^{2} = \frac{2 S}{\sin α}

Осталось извлечь квадратный корень из обеих частей равенства (обе части неотрицательны):

\sqrt{d^{2}} = \sqrt{\frac{2 S}{\sin α}}

;

d = \sqrt{\frac{2 S}{\sin α}}

Обрати внимание!

Выполняй преобразования пошагово и только по правилам!

Также обязательно повтори, как выполняются тождественные преобразования выражений.

Вернуться в тему

Следующее задание