Основные свойства логарифмов — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Логарифм

\log_{a} b

определён для

a > 0, a \neq 1, b > 0

\log_{a} b = c

, если

a^{c} = b

.
Десятичный логарифм записывают короче:

\log_{10} a = \lg a

Пример:

\log_{7} 49 = 2

, так как

7^{2} = 49

;

\lg 1000 = 3

, так как

10^{3} = 1000

\log_{a} a = 1

, так как

a^{1} = a

\log_{a} 1 = 0

, так как

a^{0} = 1

Свойства логарифмов

(Выполняются для

a > 0, a \neq 1, b > 0, x > 0, y > 0 .

)

1. Основное логарифмическое тождество:

a^{\log_{a} b} = b

2. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

\log_{a} (xy) = \log_{a} x + \log_{a} y

Пример:

\log_{6} 4 + \log_{6} 9 = \log_{6} (4 \cdot 9) = \log_{6} 36 = 2 .

3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Пример:

\log_{23} 46 - \log_{23} 2 = \log_{23} \frac{46}{2} = \log_{23} 23 = 1 .

4. Логарифм степени равен произведению показателя степени и логарифма основания степени:

\log_{a} b^{k} = k \log_{a} b

Пример:

\log_{2} 2^{3} = 3 \cdot \log_{2} 2 = 3 \cdot 1 = 3 .

5. Основание логарифма и выражение под знаком логарифма одновременно можно возвести в одну и ту же степень:

\log_{a} b = \log_{a^{n}} b^{n}

Пример:

\log_{\sqrt{2}} 4 = \log_{{(\sqrt{2})}^{2}} 4^{2} {= \log}_{2} 16 {= \log}_{2} 2^{4} = 4 .

Обрати внимание!

Некоторые приведённые правила есть в справочном материале на экзамене.

2. Основные свойства логарифмов