Основные понятия — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

1. Основные понятия

Теория

Что проверяет задание $13$

Задание № $13$ (часть $1$, краткий ответ) проверяет умение моделировать реальные ситуации на языке математики, составлять выражения, уравнения и неравенства по условию задачи, решать текстовые задачи разных типов, в том числе из области управления личными и семейными финансами. Это классическая экономическая задача на кредиты, вклады или бюджет.

Базовые понятия

Кредит — сумма, взятая в долг у банка под проценты.
Вклад — сумма, размещённая в банке для получения дохода.
Основной долг — первоначальная сумма кредита.
Проценты — плата за пользование кредитом или доход по вкладу.
Платёж состоит из части основного долга и процентов.

Основные типы задач

1. Задачи на вклады

В таких задачах деньги вкладываются в банк под проценты или в проекты, которые ежегодно дают прирост средств.

Через год вложенные средства увеличиваются на

r %

, и их размер становится равным

S (1 + \frac{r}{100})

, или

Sk

рублей.

Ещё через год средства опять увеличиваются на

r %

, и их размер уже составляет

S {(1 + \frac{r}{100})}^{2}

, или

S k^{2}

рублей.

Если средства увеличиваются на

r %

каждый год, то через $n$ лет их размер будет составлять

S {(1 + \frac{r}{100})}^{n}

, или

S k^{n}

рублей.

Варианты условий всевозможные: вкладываются дополнительные средства, сравниваются два вклада или два проекта и так далее.

2. Задачи на кредиты

Удобно ввести обозначения:

$S$ — первоначальная сумма долга;

$n$ — количество платёжных периодов (месяцев, лет);

$r$ — процент по кредиту, начисляемый банком;

$X$ — выплата;

p = \frac{r}{100}

— процент, выраженный дробью;

k = 1 + \frac{r}{100}

— коэффициент для начисления процентов.

При увеличении долга на

r %

сумма долга составит

S (1 + \frac{r}{100})

, или

Sk

.
Коэффициент $k$ показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления банком процентов.

$I$ схема: если есть информация о платежах, например выплаты производятся равными платежами. Тогда последняя выплата должна погасить остаток долга.

\begin{array}{l} (... ((S \cdot k - X) \cdot k - X) ...) \cdot k - X = 0; \\ S k^{n} - X (k^{n - 1} + k^{n - 2} + ... + k^{2} + k + 1) = 0 . \end{array}

Применим формулу геометрической прогрессии для выражения в скобках:

S k^{n} - X \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 0 .

$II$ схема: если есть информация об изменении суммы долга, например сумма долга уменьшается равномерно. В таком случае каждая выплата состоит из двух частей: погашения начисленных процентов и фиксированной части тела кредита (чтобы долг уменьшился на

\frac{1}{n} S

рублей).

Месяцы	Долг до начисления $\%$, руб.	Долг после начисления $\%$, руб.	Выплата, руб.
$1$	$S$	$Sk$	$Sp + \frac{1}{n} S$
$2$	$\frac{n - 1}{n} S$	$\frac{n - 1}{n} Sk$	$\frac{n - 1}{n} Sp + \frac{1}{n} S$
...	...	...	...
$n$	$\frac{1}{n} S$	$\frac{1}{n} Sk$	$\frac{1}{n} Sp + \frac{1}{n} S$
$n+1$	$0$

Сумма выплат равна (сгруппируем подобные слагаемые и применим формулу арифметической прогрессии для облегчения вычислений в скобках):

A = (Sp + \frac{n - 1}{n} Sp + ... + \frac{2}{n} Sp + \frac{1}{n} Sp) + n \cdot \frac{1}{n} S = Sp (1 + \frac{n - 1}{n} + ... + \frac{2}{n} + \frac{1}{n}) + S = Sp \frac{n + 1}{2} + S .

Задача $13$ ЕГЭ любого типа обычно решается уравнением или неравенством. Для составления уравнения или неравенства важно составить таблицу или схему, в ней легче увидеть закономерности в условии задачи.

Что важно запомнить

$k=1+0,01r$ — важный инструмент.

Аннуитетный платёж — погашение кредита равными суммами; дифференцированный — убывающими.

Сумма геометрической прогрессии упрощает расчёты.

Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Вернуться в тему

Следующая теория