11. Пример. Пифагоровы тройки

а) для натуральных чисел  $m$ и $n$ можем рассмотреть числа $a=m^2-n^2$, $b=2mn$, тогда:

 

 

То есть, $a^2+b^2$ является полным квадратом натурального числа.

Если справедливо равенство $a^2+b^2=c^4$, то справедливо и равенство ${\left(a{с}^2\right)}^2+{\left(b{с}^2\right)}^2=c^8$ и т. д.

 

То есть, таких чисел бесконечно много.

 

Ответ: да.

 

б) Если $a^2+b^2=c^4$, то, например, ${15}^2+{20}^2=5^4$. То есть, числа $a$ и $b$ в этом случае не кратны \(7\).

 

Ответ: нет.

 

в) Если числа $a$ и $b$ взаимно просты, то предположим, что $a=m^2-n^2$, $b=2mn$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, а $c^2=m^2+n^2$ (см. рассуждения в пункте \(а\)).

 

Предположим, что $b$ не делится на \(7\), и, значит, ни $m$, ни $n$ на \(7\) не делится.

 

Квадрат числа, не делящегося на \(7\), даёт при делении на \(7\) в остатке \(1\), \(2\) или \(4\). Так как \(1+2\), \(1+4\), \(2+4\) не совпадает ни с одним из указанных остатков и не кратно \(7\), то из равенства $c^2=m^2+n^2$ следует, что числа $m$ и $n$ должны при делении на \(7\) давать одинаковые остатки, откуда следует, что $a=m^2-n^2$ делится на \(7\). 

 

Поэтому \(НОД(\)$a$$b$; \(7\)\()\) \( =7\).

 

Ответ: \(7\).