Теория:
Пример:
из натурального ряда чисел выбирается отрезок из \(21\) числа.
а) Верно ли, что в этом отрезке более семи простых чисел?
б) Верно ли, что в этой последовательности всегда найдётся число, делящееся на \(5\), но не делящееся на \(2\) и \(3\)?
в) Найди сумму первых чисел из таких отрезков с наибольшим количеством простых чисел.
Решение:
а) в последовательности, например, \(4\), \(5\), \(6\)… \(25\) ровно \(7\) простых чисел.
Ответ: нет.
б) Рассмотрим произвольный отрезок из \(30\) чисел.
Пусть означает остаток от деления числа \(x\) на \(30\).
Тогда \(x = 30t\) \(+\) , где \(t\) — целое число , а \(=0\), \(1\)... \(29\).
Если , то , и число \(30t+5\) есть число последовательности \(x\), \(x+1\)... \(x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
Если же , то , и число \(30t+25\) есть число последовательности \(x\), \(x+1\)... \(x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
Если, наконец, , то , и число \(30t+35\) есть число последовательности \(x\), \(x+1\)... \(x+20\), делящееся на \(5\), но не делящееся ни на \(2\), ни на \(3\).
То есть в отрезок из \(21\) числа такое число обязательно попадёт.
Ответ: да.
в) В предыдущем пункте мы показали, что произвольный отрезок из \(21\) последовательного натурального числа содержит максимум семь простых.
Но есть последовательности \(x\), \(x+1\)... \(x+20\) с восемью простыми числами.
Очевидно, что это последовательности для \(x=1\), \(x=2\) и \(x=3\).
Сумма первых членов \(1+2+3=6\).
Ответ: \(6\).