21. Пример. Числа с одним делителем

а) Могут. Например, $8=2^3$ и $9=3^2$.

 

Ответ: да.

 

б) В предыдущем варианте \(2<3\) и \(8<9\). В случае же $2^2>3^1$, а \(2<3\).

Утверждение неверно.

 

Ответ: нет.

 

в) Исходя из решения п. а, делаем вывод, что наименьшая длина такого отрезка равна \(1\).

Поэтому все эти случаи являются значениями $a=2^m$ и $b=3^n$, где \(m\) и \(n\) — целочисленные решения уравнений $2^m-3^n=1$ и $3^m-2^n=1$.

 

Уравнение $2^m-3^n=1$ имеет только одно решение в натуральных числах: \(m=2\), \(n=1\). Действительно, так как остаток от деления $9=3^2$ на \(8\) равен \(1\), то для натуральных \(k\) имеем: $3^{2k}+1$ при делении на \(8\) даёт остаток \(2\) и $3^{2k-1}+1$ при делении на \(8\) даёт остаток \(4\). Из этого следует, что при натуральном \(n\) число $3^n+1$ не делится на \(8\) и, значит, не делится на $2^m$ для натурального $m\ge 3$. Таким образом, если при натуральных \(m\) и \(n\) имеем $2^m-3^n=1$, то должно быть $m\le 2$, так что либо $2^1-3^n=1$, что невозможно, либо $2^2-3^n=1$, что даёт \(n=1\).

 

Уравнение $3^m-2^n=1$ имеет только два решения в натуральных числах: \(n=m=1\) и  \(n=2\), \(m=3\). Действительно, если \(n\) — нечётное число, большее \(1\), т. е. \(n=2k+1\), где \(k\) — натуральное число, то, так как остаток от деления $9=3^2$ на \(4\) равен \(1\), имеем: $3^{2k+1}$ при делении на \(4\) даёт остаток \(3\), откуда $2^m=3^n-1=3^{2k+1}$ при делении на \(4\) даёт остаток \(2\).

 

Следовательно, $m\le 1$, т. е. \(m=1\), а так как $3^m-2^n=1$, то и \(n=1\).

 

Если же \(n\) — чётное число, \(n=2k\), то имеем

 

 

Таким образом, два последовательных чётных числа $3^k-1$ и $3^k+1$ являются степенями числа \(2\), и поэтому это числа \(2\) и \(4\), так что \(k=1\), \(n=2\) и, наконец, \(m=3\). Имеем три решения, а следовательно, три пары точек.