4. Пример. Последняя цифра числа

Решение:

 

а) для любого нечётного $a$ всегда $a^2+1$ делится на \(2\).

 

Следовательно, условие верно по крайней мере для $n$ \(= 2\).

 

Ответ: да.

 

б) Утверждение опровергается, например, при $a$ \(= 15\):

 

$a^{10}+1$ оканчивается цифрой \(6\) и на \(10\) не делится без остатка.

 

Ответ: нет.

 

в) Если $r$ — остаток от деления $a$ на \(10\), то, чтобы $a^{10}+1$ делилось на \(10\), нужно чтобы $r^{10}+1$ делилось на \(10\). Перебрав числа \(0, 1, 2...\) \(9\), убрав среди этих чисел сразу чётные, придём к выводу, что возможны только варианты $r$ \(= 3\) и $r$ \(= 7\). Сумма этих цифр равна \(10\).

 

Ответ: \(10\).