Пример. Сумма кубов — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Пример:

пусть число

A = {a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3} + ... + {a_{k}}^{3}

, где \(k\) — натуральное число, все

a_{i}

— целые числа.

а) Верно ли, что если

A

делится на \(9\), то хотя бы одно из

a_{i}

(\(i=1\), \(2...\)

k

) делится на \(3\)?

б) Верно ли, что при \(\)

k

\(\)

=

\(3\), если

A

делится на \(9\), то хотя бы одно из

a_{i}

\((i=1, 2, 3)\) делится на \(3\)?

в) Какой наибольший остаток от деления числа

A

на \(9\) можно получить при \(\)

k

\(\)

=

\(5\), если ни одно из чисел

a_{i}

\((i=1, 2, 3, 4, 5)\) не делится на \(3\)?

Решение:

а) Рассмотрим, например, при

k

=

\(2\). Тогда имеем, что

A = {a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3}

делится на \(9\).

Но, например, в варианте

A = 2^{3} + 4^{3} = 72

ни \(2\), ни \(4\) не делятся на \(3\).

Поэтому высказывание неверно.

Ответ: нет.

б) Имеем:

A = {a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3} + {a_{3}}^{3}

делится на \(9\).

Куб целого числа, не делящегося на \(3\), даёт при делении на \(9\) в остатке \(1\) или \(-1\).

Если бы ни одно из целых чисел

a_{i}

\((i=1, 2, 3)\) не оказалось бы делящимся на \(3\), то число

A = {a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3} + {a_{3}}^{3}

при делении на \(9\) давало бы остаток

\pm 1 \pm 1 \pm 1

, который ни при одной комбинации знаков не является числом, кратным \(9\).

Значит, хотя бы одно из

a_{i}

делится на \(3\).

Ответ: да.

в) Аналогично предыдущим рассуждениям в п. б число

A = {a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3} + {a_{3}}^{3} + {a_{4}}^{3} + {a_{5}}^{3}

при делении на \(9\) даёт остаток

\pm 1 \pm 1 \pm 1 \pm 1 \pm 1

Максимальное значение этого остатка равно \(5\).

Ответ: \(5\).

20. Пример. Сумма кубов