Пример. Остатки от деления на 3 — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Пример:

известно, что число

n \cdot 2^{n} + 1

делится на \(3\), где

n

— натуральное число.

а) Может ли число

n

быть чётным?

б) Может ли остаток от деления

n

на \(3\) быть равен \(2\), если

n

нечётное?

в) Чему равна сумма возможных остатков при делении

n

на \(6\)?

Решение:

а) чётное число

n

можно найти подбором. Например,

n

=

\(8\).

Ответ: да.

б) Пусть

n

\(=\) \(3\)

k

\(+2\), где

k

\(= 0, 1, 2, 3...\)

n \cdot 2^{n} + 1 = (3 k + 2) \cdot 2^{n} + 1 = 3 k \cdot 2^{n} + 2 \cdot 2^{n} + 1 .

Значит,

2 \cdot 2^{n} + 1

должно делиться на \(3\).

Т. к. при нечётном

n

остаток от деления

2^{n}

на \(3\) равен \(2\), а при чётном — \(1\), то

n

— чётное. Противоречие.

Ответ: нет.

в) Если

n

— чётное, то так как оно при делении на \(3\) даёт остаток \(2\) (см. пункт \(б\)),

то его можно представить в виде \(6\)

k

\(+\) \(2\), где \(\)

k

\(\)

=

\(0, 1, 2, 3...\)

Поэтому при делении на \(6\) получим остаток \(2\).

Для нечётных

n

остаток от деления на \(3\) будет \(1\). Тогда

n

можно представить в виде \(6\)

k

\(+\) \(1\), где

k

\(=0, 1, 2, 3...\)

Поэтому при делении на \(6\) получим остаток \(1\).

Сумма возможных остатков равна \(3\).

Ответ: \(3\).

5. Пример. Остатки от деления на 3