Исследование квадратных уравнений и неравенств — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Нахождение значений параметра. Задание 19

3. Исследование квадратных уравнений и неравенств

Теория

При решении уравнений или неравенств, содержащих переменную в квадрате, их преобразовывают в стандартный вид и рассматривают возможные ситуации, представленные ниже. Важно внимательно разобраться в каждом случае, подобрать примеры, чтобы при решении задач правильно использовать эти таблицы, не стремясь просто визуально запомнить.

Квадратные уравнения

Обрати внимание!

При решении квадратных уравнений и неравенств, если первый коэффициент

a = 0

, то уравнения и неравенства перестают быть квадратными и исследуются как линейные.

Разберём возможные условия и соответствующее им количество корней квадратного уравнения

a x^{2} + bx + c = 0

1	$a=0$, $b=0$, $c=0$	бесконечно много корней
2	$a=0$, $b=0$, $c \neq 0$	нет корней
3	$a=0$, $b \neq 0$	$x = - \frac{c}{b}$
4	$a \neq 0$ , $D<0$	нет корней
5	$a \neq 0$ , $D = 0$	одно решение $x = \frac{- b}{2 a}$
6	$a \neq 0$ , $D>0$	два решения $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

Квадратные неравенства

1) Неравенство

a x^{2} + bx + c < 0

1	$a=0$	решаем линейное неравенство
2	$a<0$, $D<0$	$(- \infty; + \infty)$
3	$a<0$, $D=0$	$(- \infty; - \frac{b}{2 a}) \cup (- \frac{b}{2 a}; + \infty)$
4	$a<0$, $D>0$	$(- \infty; \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}) \cup (\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}; + \infty)$
5	$a>0$, $D \leq 0$	нет решений
6	$a>0$, $D>0$	$(\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a})$

2) Неравенство

a x^{2} + bx + c \leq 0

1	$a=0$	решаем линейное неравенство
2	$a<0$, $D \leq 0$	$(- \infty; + \infty)$
3	$a<0$, $D>0$	$(- \infty; \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}] \cup [\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}; + \infty)$
4	$a>0$, $D<0$	нет решений
5	$a>0$, $D=0$	$x = \frac{- b}{2 a}$
6	$a>0$, $D>0$	$[\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}]$

3) Неравенство

a x^{2} + bx + c > 0

1	$a=0$	решаем линейное неравенство
2	$a<0$, $D \leq 0$	нет решений
3	$a<0$, $D>0$	$(\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a})$
4	$a>0$, $D<0$	$(- \infty; + \infty)$
5	$a>0$, $D=0$	$(- \infty; - \frac{b}{2 a}) \cup (- \frac{b}{2 a}; + \infty)$
6	$a>0$, $D>0$	$(- \infty; \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}) \cup (\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}; + \infty)$

4) Неравенство

a x^{2} + bx + c \geq 0

1	$a=0$	решаем линейное неравенство
2	$a<0$, $D<0$	нет решений
3	$a<0$, $D=0$	$x = \frac{- b}{2 a}$
4	$a<0$, $D>0$	$[\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}]$
5	$a>0$, $D \leq 0$	$(- \infty; + \infty)$
6	$a>0$, $D>0$	$(- \infty; \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}] \cup [\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}; + \infty)$

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория