Расположение корней квадратного уравнения относительно данных чисел — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Нахождение значений параметра. Задание 19

4. Расположение корней квадратного уравнения относительно данных чисел

Теория

Рассмотрим необходимые и достаточные условия для существования двух корней квадратного уравнения

a x^{2} + bx + c = 0, x_{1} < x_{2}, a \neq 0, x_{0} = \frac{- b}{2 a}

и расположения их относительно некоторых чисел \(l\) и \(m\).

Для того чтобы существовали два корня, и они были больше заданного числа \(l\), должно выполняться следующее условие:

l < x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} D > 0, \\ a \cdot f (l) > 0, \\ x_{0} > l . \end{cases}

Для того чтобы существовали два корня, и они были меньше заданного числа \(m\), должно выполняться следующее условие:

x_{1} < x_{2} < m \Leftrightarrow \{\begin{cases} D > 0, \\ a \cdot f (m) > 0, \\ x_{0} < m . \end{cases}

Для того чтобы существовали два корня, и они были больше заданного числа \(l\) и меньше заданного числа \(m\), должно выполняться следующее условие:

l < x_{1} < x_{2} < m \Leftrightarrow \{\begin{cases} D > 0, \\ a \cdot f (l) > 0, \\ a \cdot f (m) > 0, \\ l < x_{0} < m . \end{cases}

Необходимое и достаточное условие того, что корни квадратного уравнения будут на координатной прямой по разные стороны от числа \(l\), следующее:

x_{1} < l < x_{2} \Leftrightarrow a \cdot f (l) < 0 .

Обрати внимание!

Важно внимательно разобраться в каждом случае, подобрать примеры, чтобы при решении задач правильно использовать эти схемы, не стремясь просто визуально запомнить.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория