Свойства логарифмов — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Основные свойства логарифмов

Если

a > 0, a \neq 1, b > 0

, то

a^{\log_{a} b} = b

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством (примеры).

Свойства, приведённые ниже, выполняются, если

a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, r

— любое действительное число.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

\log_{a} (bc) = \log_{a} b + \log_{a} c

Пример:

\log_{3} 45 = \log_{3} (9 \cdot 5) = \log_{3} 9 + \log_{3} 5 = 2 + \log_{3} 5;

\log_{6} 4 + \log_{6} 9 = \log_{6} 36 = 2;

lg2 + lg5 = \lg (2 \cdot 5) = lg10 = 1 .

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c

Пример:

\log_{\frac{1}{3}} (\frac{5}{3}) = \log_{\frac{1}{3}} 5 - \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 1;

\log_{23} 46 - \log_{23} 2 = \log_{23} 23 = 1 .

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

\log_{a} b^{r} = r \log_{a} b

Пример:

\log_{2} 2^{\frac{1}{7}} = \frac{1}{7} \log_{2} 2 = \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7};

\lg \frac{1}{3} = \lg 3^{- 1} = - lg3;

2 \log_{3} 7 = \log_{3} 7^{2} = \log_{3} 49 .

Формулы перехода к другому основанию можно посмотреть здесь.

2. Свойства логарифмов