1.
Основные понятия
Теория
1. Суть задания № \(17\)
Новое задание № \(17\) (часть \(2\), развёрнутый ответ) проверяет умение строить математическую модель реальной ситуации и исследовать её с помощью аппарата алгебры и начал математического анализа. В условии всегда даётся словесное описание процесса и необходимые формулы (физические, экономические, геометрические). Требуется найти наибольшее или наименьшее значение некоторой величины — например, максимальную мощность, оптимальный размер, наибольшую прибыль.
2. Математическое моделирование
Модель — это упрощённое описание реального объекта или процесса на языке математики. При решении задания № \(17\) моделью чаще всего служит функция одной переменной.
Этапы моделирования:
- выделить величину, которую нужно оптимизировать (целевую функцию);
- выразить её через одну независимую переменную, используя данные в условии формулы и связи между величинами;
- определить область допустимых значений переменной (например, время \(t>0\), сопротивление , количество изделий \(x\) — целое неотрицательное);
- исследовать полученную функцию на экстремум.
3. Производная и её применение
Производная функции \(f(x)\) в точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Геометрически она равна угловому коэффициенту касательной к графику. Физически — мгновенной скорости изменения величины.
Для решения таких задач необходимо знать формулы и правила дифференцирования, уметь находить производную сложной функции.
Уравнение касательной может понадобиться для геометрических задач, но в задании № \(17\) чаще требуется исследование функции.
4. Экстремумы функции
Точка максимума — точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой окрестности. Точка минимума — аналогично для наименьшего значения.
Чтобы определить промежутки монотонности и экстремумы функции , нужно:
1. Найти производную .
2. Определить стационарные и критические точки.
3. Нанести стационарные и критические точки на числовую прямую и определить знаки производной на каждом промежутке.
4. Определить промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.
Подробнее:
5. Наибольшее и наименьшее значение на промежутке
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке \([a;b]\), нужно:
1. Найти критические точки, принадлежащие этому отрезку.
2. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
3. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее/наименьшее.
Если область определения — интервал или луч и функция имеет единственный экстремум, то он и будет глобальным максимумом или минимумом.
6. Что важно помнить
— Все формулы, необходимые для решения, даны в условии задачи. Не нужно заучивать физику или экономику.
— Переменная часто имеет естественные ограничения (положительность, целочисленность).
— Ответ должен быть интерпретирован в терминах задачи и иметь правильную размерность.
— Обоснование того, что найденная точка является точкой максимума (или минимума), обязательно для получения полного балла.