Как решать задания ЕГЭ — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

2. Как решать задания ЕГЭ

Теория

Алгоритм решения

1. Прочитать условие. Выписать все формулы и числовые данные.

2. Определить целевую величину. Понять, что именно нужно максимизировать или минимизировать.

3. Выразить целевую величину через одну переменную. Подставить одни формулы в другие, использовать связи между величинами.

4. Указать область допустимых значений переменной.

5. Найти производную полученной функции.

6. Решить уравнение

f^{'} (x) = 0

, найти критические точки.

7. Проверить, принадлежат ли критические точки области допустимых значений.

8. Обосновать характер экстремума (знак производной слева и справа или вторая производная).

9. Вычислить искомое значение (максимум или минимум).

10. Записать ответ с указанием единиц измерения, если требуется.

Пример

Источник тока с ЭДС

ϵ = 24

В и внутренним сопротивлением \(r=2\) Ом замкнут на реостат с сопротивлением \(R\). Сила тока в цепи определяется законом Ома:

I = \frac{ϵ}{r + R}

. Мощность, выделяемая на реостате, равна

P = I^{2} R

. Найди максимальную мощность.

Решение

1. Выразим мощность через \(R\):

P (R) = {(\frac{ϵ}{r + R})}^{2} R = \frac{ϵ^{2} R}{{(r + R)}^{2}} .

2. Подставим числовые значения:

P (R) = \frac{24^{2} \cdot R}{{(2 + R)}^{2}} = \frac{576 \cdot R}{{(R + 2)}^{2}},

\(R>0\).

3. Найдём производную:

P^{'} (R) = 576 \cdot \frac{1 \cdot {(R + 2)}^{2} - R \cdot 2 (R + 2)}{{(R + 2)}^{4}} = \frac{576 \cdot (2 - R)}{{(R + 2)}^{3}} .

4. Критическая точка:

P^{'} (R) = 0 \Rightarrow R = 2

5. Знак производной: при \(0<R<2\) производная положительна, при \(R>2\) — отрицательна. Значит, \(R=2\) — точка максимума.

6. Максимальная мощность:

P (2) = \frac{576 \cdot 2}{{(2 + 2)}^{2}} = \frac{1152}{16} = 72 Вт .

Ответ: \(72\) Вт.

Типичные ошибки

Неверное построение целевой функции: забыли подставить одну формулу в другую или перепутали зависимые и независимые переменные.
Ошибки в дифференцировании: особенно при работе с дробями и сложными функциями.
Игнорирование области допустимых значений: критическая точка может не входить в ОДЗ, тогда экстремум ищется на границе.
Отсутствие обоснования экстремума: если просто приравнять производную к нулю, но не проверить смену знака, можно получить точку перегиба, а не экстремум.
Вычислительные ошибки: невнимательность при подстановке чисел.