Сложение и умножение вероятностей — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Сложение вероятностей

События являются несовместными, или несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

P (A + B) = P (A) + P (B)

Пример:

в ящике находятся $9$ шаров, среди них $2$ белых, $3$ красных и $4$ зелёных. Наугад берётся один шар. Найди вероятность того, что вынули красный или зелёный шар.

$1$ способ. Пусть событие $A$ — появление красного шара, событие $B$ — появление зелёного шара, тогда событие $A+B$ — появление цветного шара. Очевидно, что

\begin{array}{l} P (A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}; \\ P (B) = \frac{4}{9} . \end{array}

Так как события $A$ и $B$ несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей:

P (A + B) = P (A) + P (B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{7}{9} .

Ответ:

\frac{7}{9}

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P (A) + P (\bar{A}) = 1

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: $\bar{P} (A) = 1 - P (A)$ .

Пример:

$2$ способ. Пусть событие $C$ состоит в том, что вынули белый шар. Тогда противоположное ему событие $\bar{C}$ состоит в том, что вынули не белый шар, то есть красный или зелёный. Очевидно, что $P (C) = \frac{2}{9}$ , а согласно следствию из теоремы имеем $P (\bar{C}) = 1 - P (C) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} .$
Ответ: $\frac{7}{9}$ .

Умножение вероятностей

Два события $A$ и $B$ называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Если события $A$ и $B$ независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей событий $A$ и $B$.

Пример:

в случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Какова вероятность того, что решка выпадет оба раза?

Решение. Результат второй монеты не зависит от результата первой монеты и наоборот, поэтому события являются независимыми. Выпадение решки при одном подбрасывании монеты равно

\frac{1}{2}

, при втором подбрасывании — тоже

\frac{1}{2}

. Вероятность того, что решка выпадет два раза, равна

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

.
Ответ:

\frac{1}{4}

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Сложение и умножение вероятностей

Теория: