Сложение и умножение вероятностей — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Применение формул комбинаторики и теории вероятности. Задание 5

1. Сложение и умножение вероятностей

Теория

Сложение вероятностей

События являются несовместными, или несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

P (A + B) = P (A) + P (B)

Пример:

в ящике находятся $9$ шаров, среди них $2$ белых, $3$ красных и $4$ зелёных. Наугад берётся один шар. Найди вероятность того, что вынули красный или зелёный шар.

$1$ способ. Пусть событие $A$ — появление красного шара, событие $B$ — появление зелёного шара, тогда событие $A+B$ — появление цветного шара. Очевидно, что

\begin{array}{l} P (A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}; \\ P (B) = \frac{4}{9} . \end{array}

Так как события $A$ и $B$ несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей:

P (A + B) = P (A) + P (B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{7}{9} .

Ответ:

\frac{7}{9}

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P (A) + P (\bar{A}) = 1

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: $\bar{P} (A) = 1 - P (A)$ .

Пример:

$2$ способ. Пусть событие $C$ состоит в том, что вынули белый шар. Тогда противоположное ему событие $\bar{C}$ состоит в том, что вынули не белый шар, то есть красный или зелёный. Очевидно, что $P (C) = \frac{2}{9}$ , а согласно следствию из теоремы имеем $P (\bar{C}) = 1 - P (C) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} .$
Ответ: $\frac{7}{9}$ .

Умножение вероятностей

Два события $A$ и $B$ называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Если события $A$ и $B$ независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей событий $A$ и $B$.

Пример:

в случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Какова вероятность того, что решка выпадет оба раза?

Решение. Результат второй монеты не зависит от результата первой монеты и наоборот, поэтому события являются независимыми. Выпадение решки при одном подбрасывании монеты равно

\frac{1}{2}

, при втором подбрасывании — тоже

\frac{1}{2}

. Вероятность того, что решка выпадет два раза, равна

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

.
Ответ:

\frac{1}{4}

Вернуться в тему

Следующая теория