Теория:
В задании \(7\) ЕГЭ по профильной математике нужно применить знания о производной и первообразной функции для её исследования. За это задание можно получить \(1\) балл.
Пример:
на рисунке изображены график функции \(y=\) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найди значение производной функции в точке .
Рис. \(1\). График функции и касательная к нему
Алгоритм выполнения задания
- Изучи текст задачи. Если дан рисунок, обрати внимание, что на нём изображено: график функции или график производной функции. От этого зависит, что ты можешь узнать по графику.
- Определи по рисунку нужные значения. Сопоставь их с поведением самой функции или её производной, первообразной этой функции.
- Выполни вычисления.
- Внеси полученное число в ответ.
Как решить задание из примера?
- На рисунке изображён график функции и касательная к нему. Найди две точки касательной, находящиеся в узлах клеток.
- Построй прямоугольный треугольник с гипотенузой, лежащей на касательной, причём обязательно вершины треугольника должны находиться в узлах клеток (рис. \(2\)).
Рис. \(2\). Касательная к графику функции с дополнительными построениями
- Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке и тангенсу угла наклона касательной к оси \(x\):
.
Угол наклона касательной к оси \(x\) равен соответственному углу в построенном прямоугольном треугольнике. Найдём его тангенс как отношение противолежащего катета к прилежащему:
.
- Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).
Ответ: \(0,25\).
Обрати внимание!
В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.
Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!
Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!
Что можно найти, если дан график функции?
1. Промежутки возрастания и убывания функции. Знак производной на определённом интервале.
2. Точки максимума и минимума функции, их количество. Количество точек, в которых производная равна нулю.
3. Количество касательных, параллельных данной прямой.
4. Значение производной в точке, если даны две точки, через которые проходит касательная.
Что можно найти, если дан график производной функции?
1. Определить интервалы возрастания/убывания самой функции.
2. Точки минимума и максимума функции. Их количество.
3. Определить точки из заданного промежутка, в которых функция имеет максимальное (минимальное) значение.
Источники:
Рис. 1. График функции и касательная к нему. © ЯКласс.
Рис. 2. Касательная к графику функции с дополнительными построениями. © ЯКласс.