Производная — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

1. Производная

Теория

Физический (механический) смысл производной

Если

s (t)

— закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени $t$:

v = s^{'} (t)

Геометрический смысл производной

Если к графику функции

f (x)

в точке с абсциссой $x=a$ можно провести касательную, не параллельную оси $y$, то

f^{'} (a)

выражает угловой коэффициент этой касательной:

k = f^{'} (a)

Рис. 1.

Поскольку угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $x$, то верно равенство:

f^{'} (a) = tg α

Причём

tg α

$>0$, если угол острый (прямая — возрастающая функция), и

tg α

$<0$, если угол тупой (прямая — убывающая функция).

Если

α

является острым углом, то

tg α

$>0$, и производная имеет положительное значение.

Если

α

является тупым углом, то

tg α

$<0$, и производная имеет отрицательное значение.

Подробнее можно посмотреть следующую информацию:

Свойства производной для исследования функций

Если в каждой точке интервала $(a$, $b)$ $f^{'} (x)$ $\geq$ $0$, то функция на интервале возрастает.
Если в каждой точке интервала $(a$, $b)$ $f^{'} (x)$ $\leq$ $0$, то функция убывает на этом интервале.
Если точка $x_{0}$ — точка максимума или точка минимума функции, то $f^{'} (x)$ $=0$ или $f^{'} (x)$ не существует в этой точке.
Если при переходе через точку $x_{0}$ производная функции меняет знак, то $x_{0}$ — точка экстремума функции $f (x)$ .

Подробнее можно посмотреть следующую информацию: