Простейшие тригонометрические уравнения — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то абсциссу точки \(M\) называют косинусом числа \(t\) и обозначают \(cos\) \(t\), а ординату точки \(M\) называют синусом числа \(t\) и обозначают \(sin\) \(t\).

Рис. \(1\). Координаты точки M

Итак, если

тогда

\begin{array}{l} M (t) = M (x; y); \\ x = \cos t; \\ y = \sin t . \end{array}

Отсюда следует, что:

\begin{array}{l} - 1 \leq \cos t \leq 1; \\ - 1 \leq \sin t \leq 1 . \end{array}

Исходя из определения синуса и косинуса, легко определить по окружности значения углов \(0°\), \(90°\), \(180°\), \(270°\), \(360°\):

Рис. \(2\). Частные случаи

Так как в любую точку тригонометрического круга мы придём через целое число оборотов, равных

2 π

, то справедливы равенства:

\begin{array}{l} \sin (t + 2 π k) = \sin t; \\ \cos (t + 2 π k) = \cos t . \end{array}

По окружности можно найти углы, синус, косинус которых равен \(0\), \(1\) и \(-1\). Это и будет решение соответствующих простейших тригонометрических уравнений:

\begin{array}{l} \sin x = 0, \\ x = π k, где k \in ℤ; \\ \sin x = 1, \\ x = \frac{π}{2} + 2 π k, где k \in ℤ; \\ \sin x = - 1, \\ x = \frac{3 π}{2} + 2 π k, где k \in ℤ; \end{array}

\begin{array}{l} \cos x = 0, \\ x = \frac{π}{2} + π m, где m \in ℤ; \\ \cos x = 1, \\ x = 2 π m, где m \in ℤ; \\ \cos x = - 1, \\ x = π + 2 π m, где m \in ℤ . \end{array}

Отношение синуса числа \(t\) к косинусу того же числа называют тангенсом числа \(t\) и обозначают \(tg\) \(t\).

Отношение косинуса числа \(t\) к синусу того же числа называют котангенсом числа \(t\) и обозначают \(ctg\) \(t\).

Получим, что

tg t = \frac{\sin t}{\cos t}; ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} .

Значения тангенса и котангенса повторяются через

π

, поэтому:

\begin{array}{l} tg (t + π k) = tg t; \\ ctg (t + π k) = ctg t . \end{array}

Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.

Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке \(A\).

Эту касательную \(l\) будем считать числовой прямой, ориентированной так же, как ось \(y\), и с началом в точке \(A\) (см. рис. \(3\)).

Рис. \(3\). Линия тангенсов

Итак, если числу \(t\) соответствует на числовой окружности точка \(M\), то, проведя прямую \(OM\), получим в пересечении её с числовой прямой \(l\) точку \(P\), которая имеет на числовой прямой \(l\) координату \(tg\) \(t\).

Числовую прямую \(l\) называют линией тангенсов.

Для углов