Примеры решения тригонометрических уравнений при помощи единичной окружности — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Пример:

реши уравнение

\sin x = \frac{1}{2}

Это значение синуса соответствует двум сериям углов (рис. \(1\)):

Рис. \(1\). Единичная окружность, углы для заданного значения синуса

x_{1} = \frac{π}{6} + 2 π k, k \in ℤ; x_{2} = \frac{5 π}{6} + 2 π m, m \in ℤ .

Таким же образом можно находить решения уравнений при любых других значениях синуса.

Пример:

реши уравнение

\cos x = - \frac{1}{2}

Это значение косинуса соответствует двум сериям углов (рис. \(2\)):

Рис. \(2\). Единичная окружность, углы для заданного значения косинуса

x_{1} = \frac{2 π}{3} + 2 π k, k \in ℤ; x_{2} = - \frac{2 π}{3} + 2 π m, m \in ℤ .

Таким же образом можно находить решения уравнений при любых других значениях косинуса.

Пример:

реши уравнение

tg x = - 1

Рис. \(3\). Единичная окружность, угол для заданного значения тангенса

Учитывая период функции тангенс,

x = - \frac{π}{4} + π k, k \in ℤ .

Пример:

реши уравнение

ctg x = \sqrt{3}

Рис. \(4\). Единичная окружность, угол для заданного значения котангенса

Учитывая период функции котангенс,

x = \frac{π}{6} + π k, k \in ℤ .

Источники:

4. Примеры решения тригонометрических уравнений при помощи единичной окружности