Теория:
Решая уравнения, мы уже говорили об области допустимых значений выражений и об основных принципах определения ОДЗ.
ОДЗ нужно постоянно учитывать при преобразовании неравенств и выделять преобразования, которые:
- не изменяют ОДЗ;
- расширяют ОДЗ;
- сужают ОДЗ.
Например, все преобразования, которые основаны на свойствах числовых неравенств (перенос из одной части в другую, умножение на положительное число) не изменяют ОДЗ, и при их выполнении упоминать про ОДЗ вообще не нужно.
При решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов область допустимых значений учитывается при «выкалывании» точек на числовой прямой.
При решении иррациональных неравенств «освобождение» от корней чётной степени возведением в квадрат часто приводит к расширению ОДЗ, поэтому это преобразование требует рассмотрения разных случаев, в зависимости от знака правой части.
«Избавление» от логарифмов требует наложения условий, исходящих из области определения логарифмической функции.
Сложнее с преобразованиями, приводящими к сужению ОДЗ.
Например,
Эти преобразования верны только при неотрицательных значениях функций \(f(x)\) и \(g(x)\), поэтому при их использовании нужно рассматривать отдельно каждый случай знаков функций.