Решение неравенств с помощью систем — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

2. Решение неравенств с помощью систем

Теория

Равносильные преобразования не изменяют ОДЗ неравенства.

1. Иррациональные неравенства:

\sqrt[2 n]{f (x)} < φ (x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) < {φ (x)}^{2 n}, \\ f (x) \geq 0, \\ φ (x) > 0 . \end{cases}

\sqrt[2 n]{f (x)} > φ (x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) > {φ (x)}^{2 n}, \\ φ (x) \geq 0 . \end{cases} \\ \{\begin{cases} f (x) \geq 0, \\ φ (x) < 0 . \end{cases} \end{array}

\sqrt[2 n]{f (x)} < \sqrt[2 n]{φ (x)} \Leftrightarrow

0 \leq f (x) < φ (x) .

2. Логарифмические неравенства:

\log_{a} f (x) > \log_{a} φ (x) \Leftrightarrow f (x) > φ (x) > 0,

если \(a>1\);

\log_{a} f (x) > \log_{a} φ (x) \Leftrightarrow 0 < f (x) < φ (x),

если \(0<a<1\).

3. Приведение подобных членов:

f (x) + φ (x) - φ (x) > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0, \\ x \in D (φ), \end{cases}

где

D (φ)

— область определения функции

φ (x)

4. Произведение и частное функций:

f (x) \cdot φ (x) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) > 0, \\ φ (x) > 0, \end{cases} \\ \{\begin{cases} f (x) < 0, \\ φ (x) < 0 . \end{cases} \end{array}

\frac{f (x)}{φ (x)} > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) > 0, \\ φ (x) > 0, \end{cases} \\ \{\begin{cases} f (x) < 0, \\ φ (x) < 0 . \end{cases} \end{array}

f (x) \cdot φ (x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) > 0, \\ φ (x) < 0, \end{cases} \\ \{\begin{cases} f (x) < 0, \\ φ (x) > 0 . \end{cases} \end{array}

\frac{f (x)}{φ (x)} < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) > 0, \\ φ (x) < 0, \end{cases} \\ \{\begin{cases} f (x) < 0, \\ φ (x) > 0 . \end{cases} \end{array}

5. Нестрогие неравенства:

f (x) \geq φ (x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = φ (x), \\ f (x) > φ (x) . \end{array}