Основные понятия — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

1. Основные понятия

Теория

1. Дискретная случайная величина

Случайная величина — это переменная, которая в результате испытания принимает одно из возможных значений, заранее неизвестное. Если множество значений конечно или счётно, величина называется дискретной.

Примеры: число выпавших на кубике очков, количество выигрышных билетов в лотерее, число пассажиров в автобусе.

2. Закон распределения

Соответствие между значениями

x_{i}

случайной величины \(X\) и их вероятностями

p_{i}

называется законом распределения. Для дискретной величины он обычно задаётся таблицей:

\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	...	\(x_n\)
\(P\)	\(p_1\)	\(p_2\)	...	\(p_n\)

Ключевое условие нормировки: сумма всех вероятностей равна \(1\).

p_{1} + p_{2} + ... + p_{n} = 1

3. Математическое ожидание

Математическое ожидание

E (X)

— это среднее значение случайной величины при многократном повторении испытания. Формула:

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{3} + ... + x_{n} p_{n},

где

x_{1}, x_{2}, x_{3}, ... x_{n}

— значение случайной величины \(X\);

p_{1}, p_{2}, p_{3}, ... p_{n}

— вероятность случайной величины.

Смысл: если провести очень много испытаний и усреднить все результаты, получится число, близкое к

E (X)

Свойства математического ожидания:

E (a) = a

E (aX) = a \cdot E (X)

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

E (X \cdot Y) = E (X) \cdot E (Y)

, если \(X\) и \(Y\) независимы.

4. Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего:

D (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2}

, где

E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i}

Стандартное отклонение:

σ (X) = \sqrt{D (X)}

Свойства дисперсии:

1. \(D(C) = 0\).

D (CX) = C^{2} D (X)

3. \(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\), если \(X\) и \(Y\) независимы.

5. Вероятность

Если всего \(n\) равновозможных исходов, а событию благоприятствует \(m\) из них, то:

p = \frac{m}{n}

В задачах с таблицами выигрышей вероятность значения \(x_i\) вычисляется как отношение числа билетов с этим выигрышем к общему числу билетов.

Вернуться в тему

Следующая теория