2. Особенности логарифмических уравнений

В процессе решения логарифмического уравнения стоит постоянно следить за областью определения и равносильностью преобразований.

 

1. Например, формула

 

 

верна, если числа \(b\) и \(c\) положительны.

 

Если преобразовывать выражение ${\mathit{log}}_a\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)$ по этой формуле, то можно потерять те корни \(x\), при которых как \(f(x)\), так и \(g(x)\) отрицательны. Поэтому при решении уравнений и неравенств полезно применять следующие вариации этой формулы:

 

 

2. В общем случае при решении простейшего логарифмического уравнения необходимо учесть следующие условия:

 

 

В частности, если основание логарифма \(a\) есть положительное число, не равное единице, то

 

 

Заметим, что вместо неравенства \(g(x)>0\) можно было записать неравенство \(h(x)>0\) — это всё равно, так как \(g(x)=h(x)\); выбирай то, которое проще.