7. Как решать задание ЕГЭ

В \(12\) задании ЕГЭ предлагается решить уравнение и выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку. За это задание можно получить \(2\) балла.

1. Определи вид уравнения, выбери метод решения.

 

2. Реши уравнение, используя соответствующие виду уравнения свойства и правила. Все найденные корни должны принадлежать области определения уравнения.

 

3. Выбери корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку. Обоснуй выбор корней.

 

4. Запиши все шаги решения на чистовик разборчиво и кратко.

 

5. Запиши ответ по обоим пунктам.

Если ход решения верный и обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то решение оценивается в \(2\) балла. Если верна последовательность всех шагов решения, но допущена описка или вычислительная ошибка, и в результате получены неверные ответы, можно получить \(1\) балл.

1. $(x^2+4x-2)(4^{3x+1}+8^{2x-1}-11)=0.$

 

Уравнение является распадающимся, $x\in \mathrm{ℝ}$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

 

 

Нам нужны формулы степеней:

 

 

2. Решим каждое уравнение отдельно. Уравнение \((1)\) является квадратным. Найдём его корни через дискриминант:

 

 

Уравнение \((2)\) является показательным. Приведём степени к одинаковому основанию:

 

 

Преобразуем степени, чтобы показатели тоже были равными:

 

$2^{6x-3+5}+2^{6x-3}-11=0$;

 

$2^5\cdot 2^{6x-3}+2^{6x-3}-11=0$;

 

$33\cdot 2^{6x-3}=11$;

 

$2^{6x-3}=\frac{1}{3}$;

$6x-3={\mathit{log}}_2\frac{1}{3}$;

 

$6x-3={\mathit{log}}_{2}1{-\mathit{log}}_{2}3$;

 

$6x-3={-\mathit{log}}_{2}3$;

 

$6x=3{-\mathit{log}}_{2}3$;

 

$x=\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{log}}_{2}3}{6}$.

 

Итак, уравнение имеет три корня $-2-\sqrt{6}$, $-2+\sqrt{6}$ и $\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{log}}_{2}3}{6}$.

 

3. Отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-0,5; 0,5]$.

 

 

Корень $-2-\sqrt{6}$ не принадлежит отрезку $[-0,5; 0,5]$.

 

 

Корень $-2+\sqrt{6}$ принадлежит отрезку $[-0,5; 0,5]$.

 

 

Корень $\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{log}}_{2}3}{6}$ принадлежит отрезку $[-0,5; 0,5]$.

 

4. Перепишем шаги решения в чистовик.

 

5. Запишем ответ.

Ответ: а) $-2-\sqrt{6}$; $-2+\sqrt{6}$; $\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{log}}_{2}3}{6}$; б) $-2+\sqrt{6}$; $\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{log}}_{2}3}{6}$.