Три способа отбора корней — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Пример:

а) реши уравнение

\sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos 2 x}

б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[2 π; \frac{7 π}{2}]

a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом области определения получаем:

\{\begin{cases} \sin x = \cos 2 x; \\ \sin x \geq 0, \\ \cos 2 x \geq 0 . \end{cases}

Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:

\{\begin{cases} \sin x = \cos 2 x; (1) \\ \sin x \geq 0 . \end{cases}

Решим уравнение системы \((1)\). Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:

\begin{array}{l} \sin x = \cos 2 x; \\ \sin x - \cos 2 x = 0; \\ \sin x - (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = 0; \\ \sin x - ({1 - \sin}^{2} x - \sin^{2} x) = 0; \\ \sin x - ({1 - 2sin}^{2} x) = 0; \\ {2sin}^{2} x + \sin x - 1 = 0; \\ [\begin{array}{l} \sin x = - 1, \\ \sin x = \frac{1}{2} . \end{array} \end{array}

\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в область определения, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.

Рис. \(1\). Решения уравнения на единичной окружности

Эти решения можно записать в виде:

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + 2 π n, n \in ℤ, \\ x = \frac{5 π}{6} + 2 π m, m \in ℤ . \end{array}

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок

[2 π; \frac{7 π}{2}]

\(1\) способ:

вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному промежутку, подпишем начало и конец, отметим точки окружности, представляющие серии решений и принадлежащие дуге, укажем их значения, принадлежащие промежутку.

2 π + \frac{π}{6} = \frac{13 π}{6}, 2 π + \frac{5 π}{6} = \frac{17 π}{6} .

Рис. \(2\). Отбор корней с помощью единичной окружности

Обрати внимание!

Нельзя отмечать и подписывать посторонние точки на окружности!

\(2\) способ:

указанный отрезок соответствует неравенству

2 π \leq x \leq \frac{7 π}{2}

. Подставим в него полученные корни:

\begin{array}{l} 2 π \leq \frac{π}{6} + 2 π n \leq \frac{7 π}{2}, n \in ℤ| : π; \\ 2 \leq \frac{1}{6} + 2 n \leq \frac{7}{2}, n \in ℤ| - \frac{1}{6}; \\ 2 - \frac{1}{6} \leq 2 n \leq \frac{7}{2} - \frac{1}{6}, n \in ℤ; \\ \frac{11}{6} \leq 2 n \leq \frac{20}{6}, n \in ℤ| : 2; \\ \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{20}{12}, n \in ℤ; \\ \frac{11}{12} \leq n \leq 1 \frac{8}{12}, n \in ℤ; \\ n = 1; \\ \frac{π}{6} + 2 π \cdot 1 = \frac{13 π}{6} \end{array}

\begin{array}{l} 2 π \leq \frac{5 π}{6} + 2 π m \leq \frac{7 π}{2}, m \in ℤ| : π; \\ 2 \leq \frac{5}{6} + 2 m \leq \frac{7}{2}, m \in ℤ| - \frac{5}{6}; \\ 2 - \frac{5}{6} \leq 2 m \leq \frac{7}{2} - \frac{5}{6}, m \in ℤ; \\ \frac{7}{6} \leq 2 m \leq \frac{16}{6}, m \in ℤ| : 2; \\ \frac{7}{12} \leq m \leq \frac{16}{12}, m \in ℤ; \\ \frac{7}{12} \leq m \leq 1 \frac{4}{12}, m \in ℤ; \\ m = 1; \\ \frac{5 π}{6} + 2 π \cdot 1 = \frac{17 π}{6} \end{array}

Обрати внимание!

Обязательно выдели целые части дробей для оценки значений \(n\) и \(m\)!

\(3\) способ:

разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды. На числовой прямой должен быть выделен заданный отрезок, обозначены его концы, отмечены все последовательные значения серий корней, начиная с точек, расположенных левее промежутка, и заканчивая точками, расположенными правее промежутка.

Рис. \(3\). Отбор корней с помощью координатной прямой

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ: а)

\frac{π}{6} + 2 π n, n \in ℤ; \frac{5 π}{6} + 2 π m, m \in ℤ

; б)

\frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6} .

Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора наиболее удобного способа.

Источники:

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

5. Три способа отбора корней

Теория: