Особенности иррациональных уравнений — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

3. Особенности иррациональных уравнений

Теория

Чаще всего иррациональное уравнение решается избавлением от радикалов — возведением в степень, то есть преобразованием:

\sqrt{f (x)} = g (x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) = {(g (x))}^{2}; \\ g (x) \geq 0 . \end{cases}

Обрати внимание!

1. Не всегда нужно находить область определения уравнения.

2. Не нужно добавлять условие

f (x) \geq 0

, это следует из того, что

f (x) = {(g (x))}^{2} \geq 0

3. Условие

g (x) \geq 0

проверяется подстановкой найденных корней.

Пример:

\sqrt{x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 29} = 3 - x

(\(2018\) год, досрочная волна, резервный день).

В этом уравнении, если начинать с нахождения области определения, получится неравенство третьей степени, которое мы не знаем, как решить. Этого и не нужно делать.

Всё, что требуется — возвести обе части в квадрат и добавить условие неотрицательности правой части уравнения.

\begin{array}{l} \sqrt{x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 29} = 3 - x; \\ \{\begin{cases} {(\sqrt{x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 29})}^{2} = {(3 - x)}^{2}, \\ 3 - x \geq 0; \end{cases} \\ \{\begin{cases} x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 29 = 9 - 6 x + x^{2}, \\ x \leq 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 = 0, \\ x \leq 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} (x^{3} - 5 x^{2}) - (4 x - 20) = 0, \\ x \leq 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} x^{2} (x - 5) - 4 (x - 5) = 0, \\ x \leq 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} (x - 5) (x^{2} - 4) = 0, \\ x \leq 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} (x - 5) (x - 2) (x + 2) = 0, \\ x \leq 3; \end{cases} \\ \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 5, \\ x = 2, \\ x = - 2, \end{array} \\ x \leq 3; \end{cases} \\ [\begin{array}{l} x = 2, \\ x = - 2 . \end{array} \end{array}

Ответ: \(2\); \(-2\).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория