Скалярное произведение векторов — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Скалярное произведение векторов

\vec{a}

\vec{b}

есть число, равное произведению модулей этих векторов, умноженное на косинус угла между ними:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}; \vec{b}})

Если известны координаты векторов, то можно вычислить скалярное произведение по другой формуле.

Если

\vec{a} (x_{a}; y_{a})

\vec{b} (x_{b}; y_{b})

, то скалярное произведение векторов

\vec{a}

\vec{b}

равно

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

Угол между векторами можно найти, если известны длины векторов и их скалярное произведение. Для этого выразим из первой формулы косинус этого угла.

Косинус угла между векторами равен

\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Учтём, что скалярное произведение

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

, а длины векторов равны

|\vec{a}| = \sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2}}

|\vec{b}| = \sqrt{{x_{b}}^{2} + {y_{b}}^{2}}

. Тогда получим ещё одну полезную формулу.

Если известны координаты векторов

\vec{a} (x_{a}; y_{a})

\vec{b} (x_{b}; y_{b})

,то косинус угла между векторами равен:

\cos α = \frac{x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}}{\sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2}} \cdot \sqrt{{x_{b}}^{2} + {y_{b}}^{2}}} .

Обрати внимание!

1) Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов равно положительному числу.

2) Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов равно отрицательному числу.

3) Если угол между векторами равен \(90°\), то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

И наоборот:

1) если скалярное произведение векторов больше нуля, то угол между ними острый;

2) если скалярное произведение векторов меньше нуля, то угол между ними тупой;

3) если скалярное произведение векторов равно нулю, то угол между ними прямой.

2. Скалярное произведение векторов