Теория:
В \(15\) задании ЕГЭ по математике предлагается решить задачу с экономическим содержанием. За это задание можно получить \(2\) балла.
Пример:
семья планирует взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 5 лет. Условия кредита следующие:
— в середине каждого года действия кредита долг возрастает на по сравнению с началом года;
— в конце первого, второго и третьего годов семья выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному долгу;
— в конце четвёртого и пятого годов семья выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найди наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 9 млн рублей.
— в середине каждого года действия кредита долг возрастает на по сравнению с началом года;
— в конце первого, второго и третьего годов семья выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному долгу;
— в конце четвёртого и пятого годов семья выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найди наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 9 млн рублей.
Алгоритм выполнения задания
- Определим тип задачи.
- Обозначим буквами переменные. Заполним таблицу или построим схему по условию задачи.
- Построим математическую модель задачи (уравнение, неравенство, функцию).
- Выполним необходимые преобразования и вычисления.
- Вернёмся к условию и вопросу задачи, чтобы понять: найдено нужное значение или нужны дополнительные вычисления.
- Запишем ответ. Если вопрос не уточняет, в каких единицах измерения нужно писать ответ, то в ответе обязательно указываем единицы измерения.
Критерии оценивания
Если ход решения верный и обоснованно получен верный ответ, то решение оценивается в \(2\) балла. Если верно построена математическая модель, можно получить \(1\) балл.
Как решить задание из примера?
1. Задача на кредит с группами равных платежей (\(I\) схема).
2. Обозначим: \(S\) — размер кредита (млн руб.), \(X\) — выплата в конце четвёртого года и в конце пятого года (млн руб.). Занесём в таблицу суммы кредита и выплаты по каждому году.
Год | Долг до начисления , млн руб. | Долг после начисления , млн руб. | Выплата, млн руб. |
\(1\) | \(S\) | \(1,2S\) | \(0,2S\) |
\(2\) | \(S\) | \(1,2S\) | \(0,2S\) |
\(3\) | \(S\) | \(1,2S\) | \(0,2S\) |
\(4\) | \(S\) | \(1,2S\) | \(X\) |
\(5\) | \(1,2S-X\) | \(1,2(1,2S-X)\) | \(X\) |
\(6\) | \(0\) |
3. В конце пятого года долг должен быть полностью погашен.
То есть последняя выплата \(X\) равна \(1,2(1,2S-X)\):
4. Найдём общую сумму выплат:
Общая сумма выплат по условию должна быть меньше 9 млн рублей:
Подставим вместо \(X\) полученное в пункте \(3\) выражение и решим неравенство:
5. В задаче требуется найти наибольший размер кредита при заданных условиях. Наибольшее целое число \(S\) равно \(4\).
6. Запишем ответ: \(4\).