Как решать задание ЕГЭ — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

В $16$ задании ЕГЭ нужно решить задачу по планиметрии. За верно выполненное задание можно получить $3$ балла.

Пример:

в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ и точке $L$.
$LP$ — серединный перпендикуляр к стороне $AB$.

а) Докажи, что

{AC}^{2} = BC \cdot CL

б) Найди радиус окружности, вписанный в треугольник $ALC$, если $AC=18$,

\sin ∠ B = \frac{\sqrt{7}}{4}

Алгоритм выполнения задания

1. Прочитай внимательно задачу, выполни рисунок. Если нужно, сделай дополнительные построения.

2. Вспомни необходимые определения, теоремы.
3. Выполни на черновике доказательство пункта $a$ и решение пункта $б$.

4. Запиши все шаги решения обоих пунктов на чистовик разборчиво и кратко.

5. Запиши ответ пункта $б$.

Критерии оценивания

Если ход решения верный и обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то решение оценивается в $3$ балла.

$2$ балла можно получить за верно решённый пункт $б$, если задача решена без использования утверждения пункта $а$.

$1$ балл — если выполнен пункт $а$ или решён пункт $б$ с использованием утверждения пункта $а$ (без его доказательства).

Если допущена одна арифметическая ошибка и в результате получен неверный ответ — минус $1$ балл.

Как решить задание из примера

1. Выполним рисунок к задаче (рис. $1$).

Рис. $1$. Пирамида

2. Вспомним:

3. Докажем утверждение пункта $a$.

$LP$ — серединный перпендикуляр,

LP ⊥ BA, AP = PB

\begin{array}{l} AP = PB \\ ∠ LPB = ∠ LPA = 90 ° \\ LP - общая \end{array}] \Rightarrow Δ LPB = Δ LPA,

поэтому

∠ ABC = ∠ BAL = ∠ LAC

\begin{array}{l} ∠ ABC = ∠ CAL \\ ∠ C - общий \end{array}] \Rightarrow Δ ABC \sim Δ LAC

по двум углам, поэтому

\frac{AC}{BC} = \frac{CL}{AC}

;

{AC}^{2} = BC \cdot CL

4. Решим задачу пункта $б$.

Обозначим

∠ ABC = ∠ BAL = ∠ LAC

$=$

α

Угол $ALC$ — внешний угол треугольника $ABL$:

∠ ALC = 2 α

По теореме синусов:

\begin{array}{l} \frac{CL}{\sin α} = \frac{AC}{\sin 2 α}; \\ CL = \frac{AC \cdot \sin α}{\sin 2 α} = \frac{AC \cdot \sin α}{2 \sin α \cos α} = \frac{AC}{2 \cos α} = \frac{18}{2 \cdot 0, 75} = 12 . \end{array}

BC = BL + CL = AL + CL,

поэтому:

\begin{array}{l} {AC}^{2} = BC \cdot CL = (AL + CL) \cdot CL; \\ AL + CL = \frac{{AC}^{2}}{CL}; \\ AL = \frac{{AC}^{2}}{CL} - CL = \frac{18^{2}}{12} - 12 = 15 . \\ S_{ACL} = \frac{1}{2} AC \cdot AL \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{135 \sqrt{7}}{4} . \end{array}

Обозначим $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $ACL$.

\begin{array}{l} S = pr; \\ p = \frac{AC + AL + CL}{2} = \frac{45}{2}; \\ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{135 \sqrt{7}}{4}}{\frac{45}{2}} = \frac{3 \sqrt{7}}{2} . \end{array}

5. Запишем ответ.

Ответ: б)

\frac{3 \sqrt{7}}{2}

Источники:

3. Как решать задание ЕГЭ