Теорема о трёх перпендикулярах — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

Теорема о трёх перпендикулярах — один из наиболее часто встречающихся геометрических фактов в $13$ задании ЕГЭ.

Пусть есть плоскость

α

, прямая $AC$, пересекающая плоскость, и её проекция $BC$.

Рис. $1$. Теорема о трёх перпендикулярах

Согласно теореме о трёх перпендикулярах имеем:

b \in α, b ⊥ BC \Leftrightarrow b ⊥ AC .

Важно понимать следующие моменты:

о каких трёх перпендикулярах идёт речь. Два перпендикуляра очевидны — $b ⊥ BC, b ⊥ AC$ . Третий перпендикуляр — $AB$. Это не только перпендикуляр к плоскости, но и перпендикуляр к прямой $b$.
Полезно уметь доказывать теорему. Перпендикулярность прямых $AC$ и $b$ следует из перпендикулярности прямой $b$ плоскости, которая проходит через пересекающиеся прямые $AB$ и $BC$. Так как прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости, а следовательно, и любой прямой в плоскости, в том числе и $AC$. Таким образом, можно доказывать перпендикулярность прямых, ссылаясь не на теорему о трёх перпендикулярах, а на признак перпендикулярности прямой и плоскости и свойство прямой, перпендикулярной плоскости:

$\begin{array}{l} AB ⊥ α \Rightarrow AB ⊥ b, \\ BC ⊥ b \end{array}\} \Rightarrow b ⊥ (ABC) \Rightarrow b ⊥ AC .$
Справедлива обратная теорема. То есть, если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной:

$\begin{array}{l} AB ⊥ α \Rightarrow AB ⊥ b, \\ AC ⊥ b \end{array}\} \Rightarrow b ⊥ (ABC) \Rightarrow b ⊥ BC .$

Исходя из вышесказанного, при доказательстве перпендикулярности прямых в пространстве можно идти разными путями:

обосновать наличие наклонной, её проекции и перпендикулярность им некоторой прямой, ссылаясь на теорему о трёх перпендикулярах;
ссылаться на признак перпендикулярности некоторой прямой плоскости, натянутой на две перпендикулярные этой прямой прямые.

Источники:

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

2. Теорема о трёх перпендикулярах

Теория: