1. Потенциальная энергия заряда в однородном поле. Потенциальная энергия системы точечных зарядов

Однородное электрическое поле

Однородным электрическим полем называют такое электрическое поле, вектор напряжённости которого не зависит от точки пространства (\(\vec{r(t)} =const\)), где \(\vec{r(t)}\) — радиус-вектор исследуемой точки.

Потенциальные и непотенциальные силы в электродинамике

Все силы можно разделить на потенциальные и непотенциальные.

Работа потенциальной силы зависит только от начального и конечного положения тела и от формы траектории не зависит. Сила Кулона является потенциальной.

Потенциальность кулоновских сил позволяет говорить о потенциальной энергии заряда в поле электрических сил. По определению потенциальной энергии полагается, что изменение потенциальной энергии при его переносе из точки \(А\) в точку \(Б\) в любом электрическом поле — это работа кулоновских сил при перемещении заряда между этими точками, взятая со знаком минус:
\(A=-(E_Б-E_А)\). (\(1\))

Энергия системы заряженных тел

Вокруг заряженного тела появляется электрическое поле, которое оказывает действие на другие заряды. Таким образом, система, состоящая из какого-либо набора заряженных тел, обладает потенциальной энергией, которую обычно называют кулоновской или электрической.

Изменение потенциальной энергии заряда в однородном электрическом поле

Рассмотрим изменение потенциальной энергии положительного заряда \(q\), если переместить его в однородном электрическом поле из точки \(А\) в точку \(Б\) по красной траектории (рис. \(1\)).

Рис. \(1\). Перемещение заряда в однородном поле

Она изменяется так же, как если бы заряд перемещался по прямой (чёрной) траектории, поскольку работа потенциальной силы зависит только от начальной и конечной точки траектории.

Сила, действующая на него, постоянна:
\(\vec{F}=q \vec{E}\). (\(2\))
Если ввести радиус-векторы начала и конца этой траектории \(\vec{r}_А\) и \(\vec{r}_Б\) соответственно, то перемещение этого заряда:
\(\vec{r}=(\vec{r}_Б - \vec{r}_А)\). (\(3\))
Работу кулоновской силы можно записать как скалярное произведение силы на перемещение:
\(A=\vec{F}\cdot {r}=q \vec{E} (\vec{r}_Б - \vec{r}_А) \). (\(4\))
Выбрав за ноль потенциальной энергии начальную точку \((\vec{r}_А)\), перепишем формулу (\(1\)) в виде:

\(A=-E_Б\). (\(5\))

Из формулы (\(4\)) получим, что потенциальная энергия заряда, который расположен в точке с радиус-вектором \(\vec{r}_Б=\vec{r}\) в однородном электрическом поле, равна скалярному произведению радиус-вектора на вектор напряжённости электрического поля:
\(E= -A=-q \vec{E} \cdot \vec{r} \), (\(6\))
что в координатном виде может быть записано как:
\(E=-q (E_x x+E_у y+E_z z).\) (\(7\))

Энергия взаимодействия точечных зарядов

Для того чтобы найти энергию взаимодействия точечных зарядов, рассмотрим систему из двух положительных зарядов \(q_1\) и \(q_2\). Положим, что заряд \(q_1\) неподвижен.

Рассмотрим, какую работу совершит электрическое поле, которое создано зарядом \(q_1\), при перемещении заряда \(q_2\) из точки \(А\) в точку \(Б\) по красной траектории (рис. \(2\)).

Рис. \(2\). Перемещение заряда в поле точечного заряда

Как и в случае однородного электрического поля, вместо красной траектории будем рассматривать чёрную траекторию, где из точки \(А\) в точку \(С\) заряд перемещается вдоль линии, соединяющей эти два заряда, а из точки \(С\) в точку \(Б\) — по дуге окружности, центром которой является первый заряд.

В таком случае работа электрического поля на дуге \(СБ\) будет нулевой:

\(A=\vec{F} \cdot \vec{r}=|F|\cdot |r|cos(\pi/2)=0,\) \((8)\)

поскольку сила Кулона всегда перпендикулярна перемещению. На участке \(АС\) сила Кулона сонаправлена с перемещением, а по модулю:
\( F(r)=\frac{k q_1q_2}{r^2}\), (\(9\))
поэтому работу электрического поля можно рассчитать как:

\(A=F(r_A)r+F(r_A+\Delta r)\Delta r+F(r_A+2\Delta r) \Delta r+F(r_A+3\Delta r) \Delta r+\ldots +\)

\(+F(r_C-2\Delta r) \Delta r+ F(r_C-\Delta r) r=\sum \limits_{r=r_A}^{r_C}F(r)\Delta r=\sum \limits_{r=r_A}^{r_C} \frac{k q_1 q_2}{r^2} \cdot \Delta r.\) \((10)\)
В пределе, когда \(\Delta r\) мало, эта сумма равна:
\(A=-\frac{k q_1 q_2}{r}\). (\(11\))
Сравнивая формулы (\(1\)) и (\(11\)), получаем, что потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов:
\(E=\frac{k q_1q_2}{r}.\) (\(12\))

Энергия системы \(n\) точечных зарядов

Если рассматривать систему, состоящую из \(n\) точечных зарядов, то её потенциальная энергия:
\( E=\frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \frac{k q_i q_j}{r_{i,j}}=\frac{1}{2} \left(\frac{k q_1 q_2}{r_{12}}+\frac{k q_2 q_1}{r_{21}}+\frac{k q_2 q_3}{r_{23}}+\frac{k q_3 q_2}{r_{32}}+\ldots \right),\) (\(13\))
где \(r_{i,j}\) — это расстояние между \(i\)-м и \(j\)-м точечными зарядами, а множитель \(\frac{1}{2}\) появляется из-за того, что в сумме дважды учитывается потенциальная энергия взаимодействия \(i\)-го и \(j\)-го точечных зарядов.

Свойство линий напряжённости электрического поля

Поскольку сила Кулона потенциальна, то, если перемещать заряд по любому замкнутому контуру, работа силы Кулона равна нулю.
Отсюда вытекает, что линия напряжённости электростатического поля не замкнута.
Докажем это от противного: предположим, что линия электрического поля замкнута (рис. \(3\)).

Frame 413.png
Рис. \(3\). Замкнутая линия электрического поля

Но тогда при перемещении положительного заряда по замкнутой линии электрического поля работа электрического поля будет равна:
\(A=\sum \vec{F} \cdot \vec{r}\). (\(14\))
Каждый член этой суммы положителен, поскольку сила всегда сонаправлена с перемещением (рис. \(3\)).

Мы пришли к противоречию. Следовательно, линии электрического поля не замкнуты.

Источники:

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Потенциальная энергия заряда в однородном поле. Потенциальная энергия системы точечных зарядов

Теория: