2. Закон изменения энергии для конденсатора

Рассмотрим процесс медленного перемещения отрицательно заряженной обкладки плоского воздушного конденсатора с площадью обкладок \(S\), массой которой можно пренебречь (рис. \(1\)), под действием внешней силы \(\vec{F}\). Конденсатор заряжен и отключён от источника, поэтому заряд \(Q\) на его обкладках остаётся постоянным.

 

 

В случае медленного перемещения обкладки выполняется следствие из второго закона Ньютона в форме:

\(\vec{F}+\vec{F}_{э}=0\).  (\(1\))

Модуль силы электрического взаимодействия определяется по формуле:

\(F_{э}=QE\).  (\(2\))

Так как поле, созданное положительно заряженной обкладкой, является однородным, то напряжённость \(\vec{E}\) не зависит от расстояния до положительно заряженной обкладки.

Проецируя (\(1\)) на ось \(Oy\) и используя (\(2\)), получим:

\(F=EQ \).  (\(3\))

Напряжённость электрического поля положительно заряженной обкладки можно определить по формуле:

\(E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\),  (\(4\))

где поверхностная плотность заряда \(\sigma\) равна:

\(\sigma=\frac{Q}{S}\).  (\(5\))

Объединяя формулы (\(3\))–(\(5\)), получим:

\(F=\frac{Q^2}{2 \varepsilon_{0} S} \).  (\(6\))

Так как величины, определяющие величину силы \(F\), согласно формуле (\(6\)) остаются постоянными, то \(F=const\) и её работа может быть найдена по формуле:

\(A_{F}=F \cdot (d_2-d_1) ·\cos{0°}=F \cdot (d_2-d_1).\)  (\(7\))

Подставляя формулу (\(6\)) в выражение (\(7\)) и преобразовывая, получим:

\(A_{F}=\frac{Q^2}{2 \varepsilon_{0} S} \cdot (d_2-d_1) =\frac{Q^2}{2} \cdot \frac{d_{2}}{\varepsilon_0 S}-\frac{Q^2}{2} \cdot \frac{d_{1}}{\varepsilon_0 S}.\)  (\(8\))

Используя выражение для энергии электрического поля конденсатора:

\(W_{э}=\frac{Q^2}{2 C}\)  (\(9\))

и формулу ёмкости плоского воздушного конденсатора:

\(C=\frac{\varepsilon_{0}S}{d}\),  (\(10\))

преобразуем формулу (\(8\)) к виду:

\(\boxed{W_{э.2}-W_{э.1}=A_{F}}\).   (\(11\))

Таким образом, работа внешней силы \(F\) идёт на увеличение энергии электрического поля конденсатора.