1. Вывод уравнения траектории и формул дальности, времени, максимальной высоты полёта

Время движения тела

Выведем время движения (полёта тела) (рис. \(1\)).

Рис. \(1\). Движение тела, брошенного под углом к горизонту

1. Уравнения движения:

\begin{array}{l} x (t_{дв}) = υ_{0} (\cos α) t_{дв}; (1) \\ y (t_{дв}) = υ_{0} (\sin α) t_{дв} - \frac{g t_{дв}^{2}}{2}, (2) \end{array}

где \(t_{дв}\) — время движения.

2. Во время приземления тела его координата \(y_A(t_{дв})\) \(=\) \(0\), уравнение \(2\) примет вид:

0 = υ_{0} (\sin α) t_{дв} - \frac{g t_{дв}^{2}}{2} .

3. Решая квадратное уравнение, получаем два корня:

\(t_{дв}\) \(=\) \(0\) и

t_{дв} = \frac{{2 υ}_{0} \sin α}{g} . (3)

Первый корень соответствует начальному моменту времени, второй корень соответствует конечному моменту времени, т. е. времени движения тела.

Дальность полёта

Во время приземления тела его координата \(x_A(t_{дв})\) \(=\) \( L\) — дальность полёта.

Подставим полученную формулу \((3)\) для времени движения в формулу \((1)\). Получим:

\begin{array}{l} L = \frac{υ_{0} \cos α \cdot 2 υ_{0} \sin α}{g} = \frac{2 υ_{0}^{2} \sin α \cos α}{g}; \\ L = \frac{υ_{0}^{2} sin2 α}{g} . \end{array}

Максимальная высота подъёма

1. Зависимость скорости тела от времени в наивысшей точке траектории:

\begin{array}{l} υ_{x} (t_{под}) = υ_{0} \cos α; \\ υ_{y} (t_{под}) = 0, \end{array}

где \(t_{под}\) — время подъёма тела на максимальную высоту \(y(t_{под})\) \(=\) \(h\).

В высшей точке скорость тела направлена строго горизонтально, следовательно:

υ_{y} (t_{под}) = υ_{0} \sin α - g t_{под} = 0 \Rightarrow t_{под} = \frac{υ_{0} \sin α}{g} .

2. Подставим полученное выражение для \(t_{под}\) в формулу \((2)\):

\begin{array}{l} y (t_{под}) = h = υ_{0} \sin α - \frac{g \cdot {(\frac{υ_{0} \sin α}{g})}^{2}}{2}; \\ h = \frac{υ_{0}^{2} \sin^{2} α}{2g} . \end{array}

Уравнение траектории

Уравнение траектории — это зависимость \(y\) \(=\) \(y(x)\).

1. Выразим \(t_{дв}\) из уравнения \(1\):

t_{дв} = \frac{x}{υ_{0} \cos α} . (4)

2. Подставим формулу \((4)\) в уравнение \(2\):

\begin{array}{l} y = υ_{0} \sin α \cdot \frac{x}{υ_{0} \cos α} - \frac{g {(\frac{x}{υ_{0} \cos α})}^{2}}{2} = \frac{\sin α}{\cos α} x - \frac{g}{2 υ_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2}; \\ y = tg α x - \frac{g}{2 υ_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} . (5) \end{array}

Начальная скорость, угол и ускорение имеют постоянное значение.

3. Введём обозначения:

b = \frac{g}{2 υ_{0}^{2} \cos^{2} α}, c = tg α .

4. Подставим эти значения в уравнение \(5\):

\begin{array}{l} y = cx - b x^{2}; \\ y = - b x^{2} + cx . (6) \end{array}

5. Полученная зависимость \((6)\) — квадратичная функция. График этой функции — парабола (рис. \(2\)).

Т. к. \(b\) \(<\) \(0\), ветви параболы направлены вниз.

Рис. \(2\). Траектория тела, брошенного под углом к горизонту

Источники: