1. Давление на вертикальную стенку

Часто возникает необходимость определения давления и силы давления на вертикальную стенку. Так как полное давление зависит от глубины, то давление вдоль стенки является переменным.

 

Рассмотрим вертикальную стенку высотой \(H\) и шириной \(B\), находящуюся под давлением жидкости с плотностью \(\rho\). Внешнее давление на поверхности жидкости равно \(p_{0}\).

 

Рис. \(1\). Изображение \(i\)-й полосы

 

Представим стенку в виде множества полос шириной \(B\) и высотой \(\Delta h\), причём \(\Delta h\) будем считать настолько малым, что изменением давления на этом участке можно пренебречь.

 

Рассмотрим \(i\)-ю полосу, находящуюся на глубине \(h_{i}\) (рис. \(1\)).

На неё действует сила давления \(F_{Д.i}\):

\(F_{Д.i}=p_{i} \cdot B \cdot \Delta h_{i}\),  (\(1\))

где \(p_{i}\) — полное давление на глубине \(h_{i}\), определяемое постоянным по величине внешним давлением \(p_{0}\) и переменным по глубине давлением столба жидкости (рис. \(2\)).

 

Общая сила давления, действующая на всю стенку, может быть найдена по формуле:

\(F_{Д}=\sum \limits_{i=1}^{N}p_{i}\cdot B \cdot \Delta h_{i}=B\cdot \sum \limits_{i=1}^{N} p_{i}\cdot \Delta h_{i},\)  (\(2\))

где \(N\) — количество полос, на которое разбита стенка.

 

На рис. \(2\) показан график зависимости полного давления от глубины.

 

 

На рисунке \(2\) видно, что произведение \(p_{i} \Delta h\) — это площадь прямоугольника, а величина \(\sum \limits_{i=1}^{N} p_{i} \Delta h_{i}\) — сумма площадей всех прямоугольников, соответствующих разным полосам, на которые разделена стенка.

 

Если \(\Delta h \rightarrow 0\), то сумма площадей прямоугольников будет примерно равна площади трапеции под графиком функции \(p(h)\):

\(\sum \limits_{i=1}^{N} p_{i} \Delta h_{i}=\frac{1}{2}\left(p_{0}+ \left(p_{0}+\rho g h\right) \right)·H.\)  (\(3\))

 

Подставляем выражение (\(3\)) в (\(2\)):

\(F_{д}=BH\left(p_{0}+\frac{\rho g H}{2}\right)\),  (\(4\))

тогда давление на всю поверхность вертикальной стенки:

\(p_{ст}=\frac{F_{д}}{B\cdot H}=p_{0}+\frac{\rho g H}{2}.\)  (\(5\))

 

Формулу (\(5\)) можно распространить на более общий случай, когда необходимо найти давление на участок вертикальной стенки, расположенный на некоторой глубине относительно поверхности (рис. \(3\)).

 

Рис. \(3\). Инфографика к расчёту давления на участок вертикальной стенки

 

В этом случае в качестве внешнего давления \(p_{0}\) в формуле (\(5\)) необходимо взять полное давление на уровне \(AB\), равное:

\(p_{AB}=p_{0}+\rho g h_{1}\),  (\(6\))

а высота стенки \(H\) определится как:

\(H=h_{2}-h_{1}\).  (\(7\))

 

В результате получим:

\(p_{ст}=p_{0}+\rho g h_{1}+\rho g \frac{h_{2}-h_{1}}{2}\).  (\(8\))

После упрощения можно записать формулу (\(8\)) в виде:

\(p_{ст}=p_{0}+\rho g \frac{h_{1}+h_{2}}{2}\).  (\(9\))